Кратко — через дефис пишется, когда «по-» служит приставкой и образует наречие образа действия; раздельно — когда «по» — предлог и далее стоит существительное/имя/число в дательном падеже.
Правила и примеры.
1) Через дефис (наречия: по- + форма прилагательного/наречия: -ому, -ему, -и, -ски, -цки):
- по-русски (говорить по-русски)
- по-новому, по-дружески, по-рабочему, по-царски, по-хорошему, по-нашему (в значении «так, как ...»)
Знак дефиса показывает, что это единое наречие «в русском стиле/на русском языке».
2) Раздельно (по — предлог + существительное/прилагательное в дательном):
- по русским законам, по русской традиции, по русскому тексту
- по одному человеку, по трём рублям
Здесь «по» выражает распределение/соответствие и не образует наречия.
3) Частые уточнения:
- «по-моему» (дефис) = «по моему мнению» (смысл «я думаю», это наречие/вводное выражение). Но «по моему плану» (раздельно) = «в соответствии с моим планом» (предлог + дательный).
- «говорит по-английски» (дефис) vs «по английским книгам» (раздельно).
Правильная проверка: можно ли перестроить фразу так, чтобы «по-…» выступало как единое наречие («так, как …»). Если да — дефис; если после «по» стоит дательный падеж сущ./числ. — раздельно.