Нельзя сочетать союз «что» с оформлением прямой речи в кавычках. Правильно оформить можно в одном из трёх вариантов:
$1$ Прямая речь после слов автора (вводится через двоеточие):
Он сказал: «Я вернусь» и ушёл.
Пояснение: двоеточие после «сказал», кавычки вокруг прямой речи; запятая после закрывающей кавычки не ставится.
$2$ Прямая речь перед словами автора (обычное оформление с запятой и тире):
«Я вернусь», — сказал он и ушёл.
Пояснение: внутри кавычек стоит запятая (или другой знак, если требуется), затем закрывающая кавычка и тире, после — слова автора; «и ушёл» продолжает слова автора (запятая перед «и» не нужна).
$3$ Косвенная речь (без кавычек и без «:»):
Он сказал, что я вернусь, и ушёл.
Пояснение: «что» вводит придаточное, после «сказал» — запятая; запятая перед «и» ставится, чтобы закрыть придаточное.
Вывод: исходное «Он сказал что „Я вернусь“ и ушёл» неверно — либо убрать «что» и написать через двоеточие, либо убрать кавычки и оставить «что» (см. варианты выше).