После недавних дождей и влажно.
[После недавних дождей] - сказуемое (приставка)
[и влажно] - дополнение (приставка)

Начинает цветать.
[Начинает] - сказуемое
[цветать] - дополнение

Перед нами высокий темно-зеленый остров.
[Перед нами] - дополнение (предлоговое выражение)
[высокий темно-зеленый остров] - сказуемое

Летом светает рано, а зимой поздно.
[Летом светает рано] - сказуемое (приставка)
[а зимой поздно] - дополнение (приставка)