Этот способ образования отглагольных существительных "ай" встречается в древних славянских языках, в том числе в древнерусском. Он имеет происхождение от древнего глагольного окончания "-ати", которое образовывало отглагольные имена существительные в значении "тот, кто что-то делает".

Таким образом, слова "ходатай", "соглядатай" и "прелагатай" идут от глаголов "ходить", "смотреть" и "предлагать" соответственно, а суффикс "-ай" указывает на лицо или единицу, которая совершает указанное действие.

Ходатайство (прошение, просьба), соглядатай (наблюдатель, зритель) и прелагатай (предлагатель) — это слова, которые сохраняют древний этимологический корень, но в современном русском языке они употребляются редко и больше ассоциируются с древностью и архаизмом.