Выражение "по случаю" обычно означает, что что-то происходит в связи с каким-то событием или поводом. В данном контексте оно означает, что Андрей пришел по случаю (по поводу) дня рождения автора, что может означать, что он пришел специально из-за этого события, возможно был приглашен, а не случайно или неожиданно.