Объяснение не нужно. Можно ли раздельно писать? У Розенталя: Примечание 2. Различается написание с не безлично-предикативных слов на -о и созвучных с ними кратких прилагательных и наречий. Ср.: – Дать воды? – Не нужно. – Объяснение ненужно. Но ведь краткие прилагательные могут писаться с НЕ отдельно, так как тот же Розенталь пишет: Примечание. В зависимости от смысла не с краткими прилагательными, как и с полными, пишется то слитно, то раздельно; ср.: наша семья небогата (примерно то же, что бедна) – наша семья не богата (т.е. среднего достатка); эта девушка некрасива (утверждается отрицательный признак) – эта девушка не красива (отрицается положительный признак), адрес неизвестен (утверждается «неизвестность») – адрес не известен (отрицается «известность»). Ср. также: Невелика беда. – Не велика, казалось бы, эта дистанция для стайеров. Согласно этому примечанию, можно написать: Объяснение не нужно. А Примечание 2. можно понять так, что НЕ пишется раздельно, если нужно - это безлично-предикативное слово, и слитно, если нужно - краткое прилагательное.
Таким образом, в зависимости от контекста, можно писать "не" как раздельно, так и слитно.