"Шести" - это форма числительного "шесть" в родительном падеже единственного числа, которая употребляется с существительными в единственном числе. Пример: "У меня есть шесть книг".

"Шестерых" - это форма числительного "шесть" в родительном падеже множественного числа, которая употребляется с существительными во множественном числе. Пример: "Он разделил конфеты между шестерыми детьми".