Часть речи слова застилались — глагол.

Морфологические признаки

Начальная форма: застилаться (инфинитив);

Постоянные признаки: 1-е спряжение, непереходный, несовершенный вид;

Непостоянные признаки: изъявительное наклонение, множественное число, прошедшее время, возвратный.

Синтаксическая роль

Может быть различным членом предложения, смотрите по контексту.