Да, слова "тропа" и "трепаться" связаны по происхождению. Оба слова имеют корни в древнерусском языке. "Тропа" происходит от слова "тропь", что означает след, тропинка. "Трепаться" же образовано от слова "трепать", что означает обговаривать, обсуждать, вести разговор. В данном контексте слово "потрепанный" может означать изношенный, потрёпанный в пути, подвергнутый воздействию троп.