Да, слово "лестница" действительно связано с корнем "лезть". Это происходит из древнерусского слова "лѣзати", которое означало "подниматься". Поэтому лестница - это средство для подъема, для лазания. Возможно, что звуковое сходство между "лестница" и "лезуть" способствовало их связи.