Падеж зависит от контекста и конструкции предложения, в котором упомянут берёзовый лес. Например, в русском языке название "берёзовый лес" может употребляться в родительном, дательном, предложном или других падежах, в зависимости от того, какое значение несёт это выражение в данной ситуации.