Кратко и по существу — набор методов, формул и критериев для оценки долгосрочной стабильности триады малых тел (троянцы) в 1:1‑резонансе с крупной планетой.
1) Базовая модель (уравнения)
- Полная N‑тельная система:
$${\ddot{\mathbf{r}}}_i=-G\sum _{j\ne i}{m}_j\frac{{\mathbf{r}}_i-{\mathbf{r}}_j}{|{\mathbf{r}}_i-{\mathbf{r}}_j{|}^3}(i=0,\dots ,N-1).$$ - В вращающейся системе (планета на круговой орбите) удобна функция Якоби / ротирующий гамильтониан. Для ограниченной трёхтелой приближённости линейная частота малых колебаний около L4/L5:
$$\omega =n\sqrt{\frac{27}{4}\mu },\mu =\frac{m_p}{M_{\ast }+m_p},n=\text{среднее движение планеты}.$$
2) Аналитические оценки границ устойчивости
- Условие линейной устойчивости экваториального равностороннего решения (Routh):
$$\mu <{\mu }_{\mathrm{crit}}\approx \mathrm{0.03852.}$$ - Радиус Хилла планеты:
$$R_H=a_p{\left(\frac{m_p}{3M_{\ast }}\right)}^{1/3}.$$ - Взаимная Хилл‑сфера двух малых тел:
$$R_{H,ij}=\bar{a}{\left(\frac{m_i+m_j}{3M_{\ast }}\right)}^{1/3}.$$ Если расстояние между двумя малыми телами становится $\lesssim R_{H,ij}$, возможны близкие сближения и сильное возмущение.
- Оценка ширины главной либации (пендулоподобное приближение): действием/углом можно аппроксимировать резонанс как маятник; полуширина в угловой переменной $\Delta \varphi$ пропорциональна $\sqrt{\mu }$. При увеличении амплитуды колебаний приближаются границы резонанса → рост нестационарности.
- Резонансный перекрывающий критерий (Chirikov): хаос возникает, когда ширины соседних вторичных резонансов перекрываются. Практически вычисляют ширины резонансов (от средних гамильтонианов) и проверяют условие перекрыва.
3) Численное моделирование — рекомендации
- Интегратор: симплектические (WH, SABA) для долгих периодов; переключение на высокоточн. (Bulirsch–Stoer, IAS15) при близких сближениях; регуляризация (KS, chain) для близких подходов.
- Временной шаг: $\Delta t\ll P/20$ для симплектических схем, принести точность энергии $\Delta E/E\ll 10^{-8}$ для длительных интеграций.
- Сценарии: сетка по начальной амплитуде либиции $\Delta {\varphi }_0$, эксцентриситету $e$, наклону $i$, массам малых тел $m_i$, фазовым сдвигам. Ансамбли реализаций для статистики.
- Обработка близких сближений: фиксировать события, при которых расстояние $d_{ij}<k{R}_{H,ij}$ (обычно $k=1$) и переключаться на точный интегратор.
4) Диагностики устойчивости и перехода в хаос
- Резонансный аргумент(ы) и их поведение: для коорбитального резонанса основной угол $\varphi =\lambda -{\lambda }_p$; для триады контролируйте относительные углы между телами. Либиция → квазистационарно, пролёт/дрейф через сепаратрис → переход.
- Ляпуновские экспоненты: положительный конечный максимум $\lambda >0$ даёт экспоненциальное расхождение; удобна характеристика времени Ляпунова $T_L=1/\lambda$. Практический критерий: если $T_L$ меньше чем типичный интеграционный/динамический масштаб (например $T_L\lesssim 10^2-10^{4}P$), орбита считается хаотической и потенциально нестабильной на долгой шкале.
- MEGNO: среднее значение $⟨Y⟩\approx 2$ — регулярность; значительное превышение (например $⟨Y⟩\gg 2$) — хаос.
- FLI/FLImax и SALI — быстрые индикаторы для массовых карт стабильности.
- Частотный анализ (NAFF/FMA): измерять фундаментальные частоты $\nu (t)$ на двух последовательных окнах и вычислять относительную разницу $\Delta \nu /\nu$. Быстрая диффузия частот → хаос. Критерий: $\Delta \nu /\nu$ выше порога (например $10^{-6}-10^{-8}$ в зависимости от интеграционного времени) указывает на заметную нестабильность.
- Энергетические/инвариантные признаки: в ограниченной задаче удобно контролировать Якоби‑константу; крупные скачки сигнализируют о близких встречах/переходах.
5) Роль малых возмущений и случайных близких сближений
- Малые постоянные возмущения (диссипация, газовый тормоз, Yarkovsky): приводят к медленному дрейфу действий; при дрейфе через вторичные резонансы возможен переход к хаосу.
- Статистическое моделирование случайных сближений: моделируйте как последовательность стохастических скачков в действии $J$ с дисперсией $⟨(\Delta J{)}^2⟩$ за единицу времени; тогда эволюция — броуновское с коэффициентом диффузии $D$, и среднее время выхода через сепаратрису:
$$t_{\mathrm{esc}}\sim \frac{(\Delta J_{\mathrm{sep}}{)}^2}{D},$$ где $\Delta J_{\mathrm{sep}}$ — ширина действия до сепаратрисы. Оцените $\Delta J_{\mathrm{sep}}$ из средней ширины резонанса (пендулоприближение).
- При редких, но сильных близких встречах действие получает скачок $\Delta J$ — переход может быть одномоментным (быстрый нестабильный режим). Практически фиксируйте частоту событий ${\nu }_{\mathrm{enc}}$ и средний эффект $⟨\Delta J^2⟩$ для оценки $D\approx {\nu }_{\mathrm{enc}}⟨\Delta J^2⟩$.
6) Практический план вычислений и критерии перехода
- Постройте карты стабильности: оси — начальная либационная амплитуда $\Delta {\varphi }_0$ и эксцентриситет $e$ (или масса $m_i$). Для каждой точки:
- Интегрируйте ансамбль $N$ реализаций на время $T_{\mathrm{int}}\sim 10^4-10^{7}P$ (в зависимости от интересующей шкалы).
- Вычислите: максимум $e_{\max }$, рост $\Delta \varphi$, наиб. расстояние между телами, время до первого близкого сближения, МЕGNO, $\lambda$, $\Delta \nu /\nu$.
- Критерии перевода в хаос/нестабильность (примерные, применяйте с адаптацией к задаче):
- $\lambda >0$ и $T_L\lesssim 10^{3}P$ → хаос на короткой–средней шкале;
- $⟨Y⟩\gg 2$ (например $>5$) → явный хаос;
- $\Delta \nu /\nu$ за интервал $\gtrsim 10^{-6}$ → заметная диффузия;
- Статистический: доля систем, уцелевших к $T_{\mathrm{int}}$, меньше заданного порога (напр. <50%) → нестабильная зона.
- Для триады дополнительно контролируйте: взаимодействия между малыми телами — если их массы таковы, что суммарный вклад в $\mu$ не мал, возможно разрушение квазистационарного режима даже при линейной устойчивости L4/L5.
7) Заключение — что ожидать и как интерпретировать
- Внутри малых либиционных амплитуд и при малых массах триады обычно сохраняет квазистационарное поведение (либиация вокруг L4/L5), линейные оценки дают частоты колебаний $\omega$.
- По мере роста амплитуды, эксцентриситета, масс или при наличии внешних возмущений/случайных близких встреч: возникают вторичные резонансы → резонансный перекрывающий переход → хаос; контролировать переход легче всего по MEGNO/ляпуновским экспонентам и по частотной диффузии.
- Близкие сближения дают дискретные скачки, моделируемые как стохастический диффузный процесс; время разрушения задаётся отношением квадрата ширины сепаратрисы к коэффициенту диффузии.
Если нужно, могу дать компактный численный рецепт (параметры интегратора, шаги сканирования, критерии порогов в числах) под вашу конкретную систему (массы, полуось, целевое время интегрирования).