Коротко, по шагам: как объяснить и смоделировать аномальную прецессию перигелия Меркурия в классике и в ОТО, какие альтернативы предложить и как их отличить экспериментально.
1) Классическая небесная механика — модель и расчёт
- Базовая модель: движение планет решается как две части — Кеплерово движение в поле центральной массы $M_{\odot }$ плюс возмущения. Средняя секулярная прецессия получается суммой вкладов:
- возмущения от других планет (секулярная теория Лапласа—Лагранжа, disturbing function),
- возмущения от несплошности Солнца (геометрическая сплюснутость, момент $J_2$),
- эффектов солнечной короны/потока частиц и т.д.
- Методика расчёта: использовать усреднённый возмущающий функция $R$ и формулы секулярного сдвига перицентра:
$$\dot{\varpi }=\frac{1}{n{a}^{2}e}\frac{\partial ⟨R⟩}{\partial e},$$ где $n=\sqrt{G{M}_{\odot }/a^3}$ — среднее движение, $a,e$ — большая полуось и эксцентриситет, $⟨R⟩$ — усреднённый по орбите возмущающий потенциал.
- Вклад от $J_2$ (солнечная сплюснутость) для перицентра:
$${\dot{\varpi }}_{J_2}=\frac{3n{J}_2{R}_{\odot }^2}{4a^2(1-e^2{)}^2}(5{\cos }^{2}i-1),$$ где $R_{\odot }$ — радиус Солнца, $i$ — наклонение орбиты относительно экватора Солнца.
- При аккуратном учёте всех перечисленных классических вкладов (планеты, $J_2$, малые тела) остаётся постоянный остаток порядка $\sim 43^{\prime \prime }$ в столетие для Меркурия (исторический результат).
2) Общая теория относительности — вкратце и формула
- В ОТО дополнительная прецессия перигелия появляется уже в первой пост-ньютонианской приближении; на одну орбиту:
$$\Delta {\varpi }_{\mathrm{GR}}=\frac{6\pi G{M}_{\odot }}{a(1-e^2)c^2}.$$ В единицах угла в столетие для Меркурия это даёт приблизительно
$$\Delta {\varpi }_{\mathrm{GR}}\approx 43^{\prime \prime }/\text{century}.$$ - В виде скорости (угловой скорости):
$${\dot{\varpi }}_{\mathrm{GR}}=\frac{3G{M}_{\odot }}{a(1-e^2)c^2}n,$$ где $n$ — среднее движение. Эта формула даёт зависимость $\propto 1/[a(1-e^2)]$ и не зависит от массы планеты или от ориентации орбиты.
3) Альтернативные гипотезы и их сигнатуры
- Невидимая масса (кольцо, распределённый тёмный материал, астероидный пояс):
- Вклад от распределённой массой зависит от профиля плотности $\rho (r)$. Для внешней массы (за орбитой) она даёт дополнительное поле, для внутренней — меняет эффективный центральный потенциал. Важная характерность: эффект зависит от расстояния $a$ по-иному, чем GR; при локальной плотности $\rho (r)$ прецессия масштабируется с интегралами $\int \rho (r)r^{2}dr$.
- Экспериментальная сигнатура: одинаковый вид дополнительной аномалии для тел с близкими радиусами, но масштаб с $a$ будет отличаться от закона $\propto 1/[a(1-e^2)]$. Кроме того, массовое добавление внутри орбиты изменит среднее движение (период), что можно измерить через радиолокацию/рейнджинг.
- Модифицированная гравитация (Yukawa-добавка, MOND-подобное, скалярно-тензорные теории):
- Примитивная параметризация: потенциальное отклонение вида
$$\Phi (r)=-\frac{G{M}_{\odot }}{r}\left[1+\alpha e^{-r/\lambda }\right].$$ Тогда прецессия зависит от $\alpha$ и $\lambda$; для $\lambda$ порядка астрономических единиц вклад меняется с $a$ экспоненциально.
- Для скалярно-тензорных теорий — прецессия выражается через пост-ньютонианские параметры $\gamma ,\beta$; несоответствие GR даёт одновременные отклонения в прецессии, световом отклонении и Шапиро-эффекте.
- Экспериментальная сигнатура: специфическая зависимость от $a$ и масштабной длины $\lambda$; несовместимость с независимыми проверками (лаб. тесты на отклонение от $1/r^2$, измерения $\gamma ,\beta$).
4) Как экспериментально отличить гипотезы
- Сравнительный масштабный тест: одновременно подогнать наблюдаемые прецессии перигелий нескольких тел (Меркурий, Венера, Земля, Марс, крупные астероиды). GR даёт предсказание с известной $a,e$-зависимость; невидимая распределённая масса или Yukawa-сила дают другие законы зависимости от $a$ и, возможно, от наклонения.
- Зависимость от наклонения: вклад $J_2$ зависит от ${\cos }^{2}i$ (см. формулу выше). Если аномалия зависит на $i$ — это признак асферичности (солнечный квадрупольный момент), а не чисто релятивистский эффект.
- Измерения независимых релятивистских эффектов: проверить те же пост-ньютонианские параметры через
- зондовые радиолокационные измерения и шапиро-замедление (Shapiro delay),
- отклонение света от Солнца (VLBI),
- временные задержки и фазовые сдвиги в радиосвязи со зондами (например, MESSENGER, BepiColombo).
Несоответствие между этими измерениями и прецессией укажет на альтернативную физику.
- Прямые ограничения на невидимую массу:
- гравитационная инверсия и эпистемические анализа эпhemerid — поиск изменения среднего движения ($n$) и периферийных параметров,
- гелиосейсмология даёт строгие ограничения на внутреннюю структуру и моменты массы Солнца (ограничивает $J_2$ и не допускает больших внутренних масс),
- пределы на локальную плотность тёмной материи в Солнечной системе из анализа планетных орбит и LLR.
- Масштабные зависимости и временная изменчивость:
- Yukawa-тип силы покажет характерное падение с расстоянием $\lambda$, тёмная материя — почти равномерную плотность (плавная зависимость), $J_2$ — зависимость от наклонения и $a^{-2}$ (см. формулу).
- Если аномалия изменяется со временем — это может указывать на миграцию массы (пыль, ветры) или инструментальные/модельные ошибки.
5) Практическая программа проверки (что измерять и как моделировать)
- Построить совместную модель эпhemerid (включая Ньютоновы возмущения, $J_2$ из гелиосейсмологии, возможные дополнительные параметры: плотность $\rho (r)$, параметры Yukawa $\alpha ,\lambda$, пост-ньютонианские параметры $\beta ,\gamma$).
- Применить набор данных: радиолокация планет, радиодальномерные данные зондов (MESSENGER, BepiColombo), VLBI, LLR, оптическая астрометрия, наблюдения астероидов.
- Оценить остатки и корреляции параметров: если добавление параметра GR убирает остаток и остальные независимые наблюдения согласуются — подтверждение ОТО. Если лучше описывают набор данных альтернативные параметры, проверить согласованность с прочими тестами (Shapiro, световое отклонение, лабораторные тесты силы).
- Конечная проверка: независимые эффекты (Shapiro delay, световое отклонение, гравитационное красное смещение) должны согласовываться с той же теорией, которая объясняет прецессию.
Краткое заключение: классическая теория + учёт всех возмущений не объяснял исторический остаток, в то время как ОТО даёт простую формулу
$$\Delta {\varpi }_{\mathrm{GR}}=\frac{6\pi G{M}_{\odot }}{a(1-e^2)c^2}$$ и численно ≈$43^{\prime \prime }/$столетие для Меркурия. Альтернативные гипотезы (распределённая масса, отклонение от $1/r^2$, дополнительные поля) имеют отличные от GR зависимости от $a,e,i$ и должны одновременнo объяснять и другие релятивистские эффекты; проверяются через совместное аппроксимирование эпhemeralей, радиолокацию зондов, VLBI и гелиосейсмологические ограничения на $J_2$.