Кратко — что даёт транзит и как на этой основе получить радиус и плотность, с примером и оценкой неопределённостей при отсутствии допплеровских измерений.
Что извлекается из транзитной кривой
- Глубина транзита: $\delta \simeq {\left(\frac{R_p}{R_{\star }}\right)}^2$ → отношение радиусов $\frac{R_p}{R_{\star }}=\sqrt{\delta }$.
- Форма (длительность $T_{14}$, длительность погружения, скос $b$) даёт масштаб орбиты $a/R_{\star }$ и косвенно плотность звезды ${\rho }_{\star }$ через закон Кеплера:
${\rho }_{\star }\approx \frac{3\pi }{G{P}^2}{\left(\frac{a}{R_{\star }}\right)}^3$.
- Для точного $R_p$ требуется абсолютный радиус звезды $R_{\star }$: $R_p=R_{\star }\sqrt{\delta }$.
Простой числовой пример (короткопериодная планета)
- Пусть $P=1.5$ суток и наблюдаем $\delta =0.01$. Тогда
$\frac{R_p}{R_{\star }}=0.1$.
- Если по спектроскопии/парсингу Гайи $R_{\star }=1.0R_{\odot }$, то
$R_p=0.1R_{\odot }\simeq 1.0R_J$ (приблизительно, $R_J\approx 0.10045R_{\odot }$).
- Ошибка в $R_{\star }$ прямо переводится в ошибку в $R_p$: если $\sigma (R_{\star })/R_{\star }=10\%$, то и $\sigma (R_p)/R_p\approx 10\%$.
Как получить массу и плотность без RV — методы и их ограничения
1. Массо-радиусные эмпирические соотношения (statistical M–R):
- дают оценку $M_p$ по $R_p$, но имеют большую разбросанность (особенно для переходных и малых планет).
- Формула для плотности: ${\rho }_p=\frac{M_p}{\frac{4}{3}\pi R_p^3}$. Погрешность $\sigma ({\rho }_p)$ агрегирует $\sigma (M_p)$ и $\sigma (R_p)$ как $\sim$ пропорционально $\sigma (M_p)$ и $3\sigma (R_p)$.
- Для газовых гигантов эмпирическая разбросанность в массе при заданном радиусе может быть фактором нескольких → плотность может быть неопределена на порядок.
2. TTV (транзитные временные вариации) в многопланетных системах:
- При подвижном возмущении можно извлечь массы компаньонов с хорошей точностью, но нужен заметный TTV-сигнал и дополнительная планета в резонансе/близко.
3. Фотофазовая фотометрия: эллипсоидальные вариации и доплеровское ближение
- Амплитуды дают зависимость от $M_p/M_{\star }$ и $(R_{\star }/a{)}^3$. При благоприятном S/N (яркая цель, большая масса, короткий $a$) возможно ограничить массу без RV.
- Примерно: амплитуда эллипсоидальных вариаций $A_{\mathrm{ellip}}\sim \alpha \frac{M_p}{M_{\star }}{\left(\frac{R_{\star }}{a}\right)}^3$ — обычно мала (ppm–тысячи ppm), требует очень точной фотометрии (Kepler/TESS для ярких звёзд).
4. Вторичные минимуми/фазовые кривые:
- Для очень горячих короткопериодных гигантов можно получить ограничения на тепловой вклад и иногда на массу через отражение/фазовую кривую, но это косвенно и модельно-зависимо.
5. Статистические/галактические приоритеты:
- Использовать массовые приоритеты из популяций (например, вероятность того, что это суперземля/нептун/юпитер) — даёт широкий диапазон масс.
Основные источники неопределённостей без RV
- Неопределённость звёздных параметров ($R_{\star },M_{\star }$): напрямую влияет на $R_p$ и косвенно на массу при использовании $a/R_{\star }$. Типично $\sigma (R_{\star })/R_{\star }$ = few % (с хорошей спектроскопией + Gaia) или $\gtrsim 10\%$ иначе.
- Разброс массово-радиусных соотношений: для малых планет — масса может варьировать на фактор $\sim 3-10$; для гигантов — тоже большой разброс из‑за раздувания/надувания.
- Смешивание (dilution, блендинг) и ложные сигналы (э клипсинг бинарные звёзды) могут занижать глубину → занижать $R_p$.
- Неизвестная эксцентриситет $e$: влияет на связь между $a/R_{\star }$ и длительностью транзита; неправильное предположение $e=0$ даёт систематическую ошибку в ${\rho }_{\star }$ и далее в интерпретации.
- Грациозный транзит (grazing) и неопределённый $b$: плохая оценка радиуса и больших ошибок в $R_p$.
Количество ошибок — числовая иллюстрация
- Допустим $R_p=1R_J$ с $\sigma (R_p)=10\%$. Если у нас нет прямой меры $M_p$ и мы предполагаем $M_p$ в диапазоне $0.3\text{–}3M_J$, то
${\rho }_p/{\rho }_J=\frac{M_p/M_J}{(R_p/R_J{)}^3}$.
При $R_p=1R_J$ плотность варьирует в пределах $\sim 0.3\text{–}3$ по отношению к ${\rho }_J$ — фактор $\sim 10$ разброса массы даёт почти порядок неопределённости в плотности. Даже при более узком предположении масс 0.5–2 $M_J$ вы получите фактор $4$ в плотности.
Рекомендации для минимизации неопределённости
- Получить качественную спектроскопию и паралаксу (Gaia) для снижения ошибок $R_{\star },M_{\star }$.
- Искать TTV в длительных сериях наблюдений (если система мультипланетная).
- Проверить и исправить блендинг/третье светило (high-resolution imaging).
- Если нет RV, попытаться измерить эллипсоидальные/бимпинг/фазовые сигналы при высокой точности фотометрии и моделировании.
- Всегда приводить плотность с учётом систематической погрешности от метода оценки массы; при отсутствии RV лучше указывать диапазон, а не единственное значение.
Короткая итоговая формула
- Радиус: $R_p=R_{\star }\sqrt{\delta }$.
- Плотность (при известной массе): ${\rho }_p=\frac{M_p}{\frac{4}{3}\pi R_p^3}$.
Без независимых измерений $M_p$ погрешности в ${\rho }_p$ обычно доминируют и могут достигать порядка единиц — факторов нескольких до порядка величины.
Если нужно, могу привести расчёт конкретного числового примера с оценкой ошибок по заданным входным данным (P, δ, σ(R★), предположения по M_p).