Кратко и по делу — как спроектировать выборку, что делать при отклонениях и как сделать вывод о существенности.
1) Цель и исходные параметры
- Цель: оценить годовую выручку с точностью ±5% при доверии 95%.
- Популяция: $N=12000$ операций.
- Уровень доверия: $1-\alpha =95\%$, $Z_{0.975}=1.96$.
- Допустимая относительная ошибка (tolerable error): $d=0.05$.
2) Выбор метода и единицы отбора
- Единица: отдельная продажа (операция).
- Рекомендуемые методы: простая случайная выборка (SRS) для оценки суммы (mean-per-unit или ratio-estimator) или PPS/MUS (monetary unit sampling) если хочется эффективности при редких больших суммах. Ниже — формулы для SRS (универсально и прозрачно).
3) Оценка дисперсии (или CV)
- Для расчёта n нужна оценка стандартного отклонения суммы операции $\sigma$ или коэффициента вариации $CV=\sigma /\mu$.
- Получить $CV$ можно из исторических данных или пилот‑выборки (например 30–50 операций).
4) Формула размера выборки (SRS с поправкой на конечную популяцию)
- Уровень погрешности по средней операции: $E_{\text{mean}}=d\cdot \mu$.
- Предварительный размер без FPC:
$$n_0={\left(\frac{Z\cdot \sigma }{E_{\text{mean}}}\right)}^2$$ или через $CV$:
$$n_0={\left(\frac{Z\cdot CV}{d}\right)}^2.$$ - С поправкой на конечную популяцию:
$$n=\frac{n_0}{1+\frac{n_0}{N}}.$$
Пример (консервативный): пусть $CV=1$. Тогда
$$n_0={\left(\frac{1.96\cdot 1}{0.05}\right)}^2=\frac{3.8416}{0.0025}\approx 1537,$$ $$n=\frac{1537}{1+1537/12000}\approx 1362.$$ Если $CV$ меньше (на практике часто $0.3-0.6$), $n$ значительно меньше.
5) Отбор и процедуры тестирования
- Случайный отбор $n$ операций (строгое рандом — индекс, генератор псевдослучайных чисел).
- Для каждой выбранной операции выполнить: верификацию документации (счет‑фактура, накладные), подтверждение от клиентов (по выборке), пересчёт суммы, проверку корректности признания выручки (метод учета, дата реализации), проверку признаков выноса/дублирования, тесты на cut‑off.
- Для больших сумм (стратификация): выделить верхний страт (например операции > порог) и протестировать 100% или отобрать пропорционально (MUS рекомендует 100% для очень крупных).
6) Обработка найденных отклонений и проекция на популяцию
- Для каждой выборки вычислить индивидуальную ошибку $e_i$ (разница: подтверждённая сумма — учтённая сумма).
- Оценка средней ошибки по выборке: $\bar{e}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{e}_i$.
- Проекция на общую популяцию (mean‑per‑unit):
$$E_{\text{tot}}=N\cdot \bar{e}.$$ - Доверительный интервал для проекции (используя выборочное стандартное отклонение $s$ и FPC):
$$S{E}_{\bar{e}}=\frac{s}{\sqrt{n}}\sqrt{\frac{N-n}{N-1}},C{I}_{\text{tot}}=N\cdot \left(\bar{e}\pm Z\cdot S{E}_{\bar{e}}\right).$$ - Решающее правило:
- если верхняя граница $C{I}_{\text{tot,upper}}\le d\cdot T$ (где $T$ — заявленная выручка), то приемлемо (выручка подтверждена в пределах допустимой ошибки);
- если точечная оценка $E_{\text{tot}}>d\cdot T$ или верхний предел $>d\cdot T$, — требуется расширение выборки или корректировка отчёта; значительно превышающие случаи — возможно неверно признанная выручка (существенность).
7) Действия при выявлении отклонений
- Классифицировать ошибки: по характеру (систематические vs случайные), по сумме (мелкие vs крупные).
- Для крупных/систематических ошибок: расширить выборку в затронутых сегментах, провести аналитическую проверку (тренды, отношения), запросить дополнительные подтверждения, оценить контрольные слабости и возможное влияние на финансовую отчетность.
- Рассмотреть переспределение выборки: 100% тестирование критически крупных операций; при массовых мелких ошибках — корректировка учёта и повторный расчёт.
8) Оценка уровня существенности и вывод
- Материальность (overall materiality) и допустимая ошибка (tolerable misstatement) следует установить до тестирования; часто материалность для выручки задаётся как процент базовой величины (например 5% выручки — в вашем условии это допустимая ошибка).
- Вывод: сравнить проекцию и доверительный интервал с заранее определённой допустимой ошибкой $d\cdot T$. Если верхний предел CI ≤ $d\cdot T$ — можно заключить, что риск существенной ошибки по выручке на уровне доверия 95% удовлетворительно низок; иначе — вывод о возможной существенности и необходимость корректировок/дополнительных процедур.
Короткое резюме действий: задать CV (или сделать пилот), посчитать $n$ по формулам выше, отобрать и протестировать операции, спрогнозировать общую ошибку и доверительный интервал, сравнить верхний предел с допустимой ошибкой $d\cdot T$; при превышении — расширять выборку/исправлять учёт/докапывать причины.