Коротко — сначала формулировки, потом выводы и реалистичность предположений.
1) Простая симметричная модель (две фирмы, два взаимосвязанных направления)
- Обратная зависимость цены от количеств (подход, удобный для Курно):
$p_i=A-B{q}_i-C{q}_j,B>0,C\ge 0$ (параметр $C$ отражает влияние отправлений конкурента; при $C>0$ пути — частичные субституты).
- Постоянные предельные издержки $c$.
2) Равновесие в модели Курно (каждая фирма выбирает $q_i$ одновременно)
- FOC и симметричное равновесие дают
$$q^{\ast }=\frac{A-c}{2B+C},Q^{\ast }=2q^{\ast }=\frac{2(A-c)}{2B+C}.$$ - Цена в равновесии
$$p^{\ast }=A-(B+C)q^{\ast }=A-(B+C)\frac{A-c}{2B+C}.$$ - Прибыль одной фирмы
$${\pi }^{\ast }=\frac{(A-c{)}^{2}B}{(2B+C{)}^2}.$$
3) Равновесие в модели Бертрана (фирмы конкурируют ценами; удобна прямая функция спроса)
- Пусть спрос на маршрут $i$: $q_i=s-t{p}_i+u{p}_j$ ($t>0$, $u\ge 0$ — кросс-ценовой эффект).
- Симметричное равновесие по ценам:
$$p^B=\frac{s+tc}{2t-u},$$ и соответствующие $q^B$ и прибыли рассчитываются подставлением в функцию спроса $(q^B=s-(t-u)p^B,{\pi }^B=(p^B-c)q^B)$.
4) Сравнение предсказаний (общая картина)
- Цены: при одинаковой степени дифференциации/заместимости модель Бертрана даёт более низкие равновесные цены, чем Курно (в предельных случаях при однородности — $p\to c$ в Бертране).
- Количества: в Бертране суммарный объём спроса выше (ниже цены → больше пассажиров), в Курно — суммарный объём ниже.
- Прибыли: прибыли фирм в Курно выше, чем в Бертране; кооперация (картель/слияние) повышает цену и прибыль — выигрыш от кооперации тем сильнее, чем острее ценовая конкуренция (то есть базовые прибыли в Бертране ниже, поэтому потенциальный выигрыш от сговора обычно больше).
- Конкретно для нашей Cournot-формулы монопольный (кооперационный) симметричный выбор даёт
$$q^M=\frac{A-c}{2(B+C)},p^M-c=\frac{A-c}{2},{\pi }_{\text{на фирму}}^M=\frac{(A-c{)}^2}{4(B+C)}.$$ Сравнение показывает: кооперация уменьшает суммарный объём и повышает цены и прибыли по сравнению с Nash-Cournot; аналогично при переходе от Bertrand–Nash к картелю повышение цен/прибылей обычно ещё сильнее.
5) Влияние характера взаимосвязи направлений
- Если направления — близкие субституты (высокое $C>0$ или $u>0$), конкуренция сильнее → цены в Nash особенно низки (особенно в Бертране), выгоды от кооперации растут.
- Если направления — комплементы (например, стыковки: повышение цены на одном снижает спрос на другом; в модели это соответствует $C<0$/$u<0$), то конкуренция смягчается, стратегические внешние эффекты обратные, и кооперация даёт дополнительные сетевые синергии (большее увеличение прибыли).
6) Какие предположения наиболее нереалистичны для авиарынка
- Бертран: предположение мгновенной ценовой конкуренции при однородном продукте и без ограничений по ёмкости (ведущее к «ценовому парадоксу» $p\to c$) нереалистично — авиабилеты дифференцированы по времени вылета, классу сервиса, частоте, программам лояльности; есть ограничения по местам и управление выручкой.
- Курно: предположение, что фирмы фиксируют только количество кресел и не реагируют по ценам одновременно, тоже упрощает — авиакомпании одновременно управляют и мощностью (рейсы/частота), и сложной динамической ценовой политикой (yield management).
- Общие нереалистичности обеих моделей для авиарынка:
- статичность (в реальности динамическое ценообразование, повторная игра, сезонность);
- константные предельные издержки (реально издержки зависят от загрузки, маршрута, топлива, слотов);
- отсутствие сетевых эффектов и стыковок (hub-and-spoke, пересадки повышают взаимосвязь направлений);
- отсутствие сегментации по классам билетов и дискриминации по цене;
- игнорирование ограничений по слотам, флоту и расписанию.
- Вывод по реалистичности: чистый Bertrand с однородным товаром и без ёмкости — наименее реалистичен для авиарынка; чистый Cournot (конкуренция по количествам) может лучше иллюстрировать конкуренцию по емкости/числу рейсов, но тоже требует сущеких дополнений (динамика, сегментация, сращивание цен/ёмкости).
Краткий практический итог: модель Курно прогнозирует более высокие цены, меньшие объёмы и большие прибыли в Nash, модель Бертрана — более низкие цены и большие объёмы; кооперация повышает цену и прибыль в обеих моделях (выигрыш от кооперации обычно больше при более острой ценовой конкуренции). Для авиарынка следует применять расширенные модели (с дифференциацией, вместимостью, динамическим ценообразованием и сетевыми эффектами), потому что простые Курно/Бертран‑предположения часто не выполняются.