Кратко — три точки зрения: грамматическая (что означает), стилистическая (в каких ситуациях употребляется) и корпусная (как это распределено в BrE и AmE). Ниже — с примерами и практическими замечаниями.

1) Значения и грамматика

have (simple have)

Значение: владение/наличие, отношения, свойства и т. п. (I have a car). Также — вспомогательный глагол для образования перфектов (I have eaten).Грамматика: обычный лексико-грамматический глагол; в вопросах/отрицаниях в Present Simple в AmE чаще используется do-support: Do you have...? / I don't have...

have got

Значение: в современном употреблении чаще всего маркер наличия/владения в настоящем (I've got a car = I have a car). Также часто означает необходимость/обязанность в конструкции have (got) to (I've got to go ≈ I have to go).Грамматика/анализ: исторически — перфект от get, но синхронно в большинстве употреблений функционирует как настоящее стативное выражение владения, т. е. по сути эквивалент present have. Обычно используется только в настоящем (I've got = настоящее; *I have got yesterday — нет). Отрицание/вопросы: Have you got? / I haven't got... (в разговорной речи также I haven't got vs I don't have).

gotten

Значение: в AmE — прошедшее причастие глагола get (have gotten), часто выражает получение/приобретение, изменение состояния, достигнутое состояние или процесс (I've gotten better; She's gotten a promotion).В BrE: past participle — got (She has got), слово gotten почти не употребляется (за редкими идиомами/историзмами). В BrE семантика получения/изменения часто выражается контекстом с got/got + adj или другими перфразами.

2) Стилистические и коммуникативные нюансы

BrE (британский английский)

Для выражения владения в разговорной речи и в большинстве неформальных письменных стилей доминирует have got (Have you got a pen? I've got two).В даже формальной письменной речи BrE допускает both, но в формальном стиле чаще встретите simple have (I have the necessary documents)."Have got to" — распространённая разговорная форма для выражения необходимости; "have to" — более нейтральная/формальная.got как причастие (have got) = стандарт; gotten — крайне редкое/архаичное.

AmE (американский английский)

Для владения в письменной и формальной речи предпочтительнее do-support / simple have: Do you have a pen? I have two. В разговорной американской речи have got встречается, но реже, чем в BrE.Вместо "haven't got" американцы чаще скажут "don't have".gotten — стандартный past participle: have gotten используется очень широко для обозначения приобретения/изменения (I've gotten better / He's gotten older / I've finally gotten my diploma). При этом для выражения владения AmE чаще скажет "I have a car" или "I have got a car" (в разговорной речи)."Have got to" в AmE разговорно эквивалентно "have to"; в очень разговорной речи сокращается до "gotta".

3) Различия при образовании вопросов/отрицаний

BrE: Have you got...? / I haven't got any money.AmE: Do you have...? / I don't have any money. (Have you got… тоже возможен, но менее частотен в формальном стиле.)Перечисленные формы часто различаются по регистру: "have got" — разговорный/спонтанный; "have/do you have" — нейтральный/формальный.

4) Семантические тонкости between have got и have/gotten

I've got a car (BrE: у меня есть машина — статичное владение)I've gotten a car (AmE: я получил/купил машину — акцент на действии/приобретении в прошлом с результатом)I have a car (нейтрально, формально; предпочитается в письме)I've got to go / I have to go (≈ одинаково, но первое — более разговорно; I've got to может звучать чуть более настоятельно)I have got the book (BrE: у меня есть книга — может восприниматься как настоящее владение, не как перфект)

5) Корпусные частоты (какие общие выкладки можно ожидать)

В британских корпусах (BNC, ICE-GB, GloWbE-UK и т. п.) частота have got для выражения наличия в настоящем существенно выше, особенно в разговорных подкорпусах. В письменных формальных жанрах simple have чаще, но have got присутствует даже в письменности.В американских корпусах (COCA, BYU American corpora, GloWbE-US) simple have / do you have встречаются чаще в письменных и в нейтральной речи; have got заметно реже, но всё ещё распространено в разговорной речи. gotten у AmE встречается очень часто как past participle get; в BrE его частота почти пренебрежимо мала.Примеры сравнений (очень общая картина, без точных чисел): в разговорной BrE выражение типа "Have you got" может быть в несколько раз более частотным, чем "Do you have", тогда как в AmE соотношение может быть обратным или примерно равным в зависимости от жанра; "gotten" в AmE — частотный, в BrE — почти отсутствует.

6) Практические рекомендации для изучающих

Если вы говорите или пишете в британском стиле и разговорном регистре — спокойно используйте have got для владения и have got to для необходимости.Если ориентированы на американский формальный / письменный стиль — предпочтительнее simple have и do-support в вопросах/отрицаниях; используйте gotten как past participle для значения получения/изменения.Для экзаменов и нейтральной письменной речи достаточно употреблять simple have / have to. Для разговорного — знать оба варианта и их оттенки.

7) Где проверить числово (если нужно исследовать корпуса самостоятельно)

BNC (British National Corpus) — BrE, хорошо подходит для разговорной/письменной смеси.ICE-GB / ICE-UK — изучают региональные варианты.COCA (Corpus of Contemporary American English) — AmE, можно сравнить частоты "have got", "do you have", "have gotten".GloWbE — позволяет сравнить частоты по странам.Google Books Ngram (UK vs US datasets) — показывает долговременные тренды (например, падение употребления gotten в BrE за 19–20 вв.).

8) Краткое резюме (самое главное)

have got — типично BrE для владения в настоящем и разговорной обязаловой лексики (have got to). В AmE встречается, но меньше в формальном контексте.have — нейтральный вариант владения; в AmE предпочтителен в письме/формальном стиле; также используется в построении перфекта.gotten — past participle get в AmE; выражает получение/изменение. В BrE вместо него используется got, и gotten почти отсутствует.

Если хотите, могу:

привести конкретные параллельные примеры из COCA и BNC (выборочно, с частотами), илиподготовить таблицу распространённости (популярность в речи/письме/формальном/неформальном регистре) с примерами.