Кратко: парадокс лжеца формулируется через самореференцию (диагональная лемма) например как
$$L\leftrightarrow \neg \mathrm{True}(┌L┐),$$ и он выявляет несостоятельность семантически «замкнутых» классических теорий истины. Основные подходы к решению и их оценка:
1) Иерархии языковых уровней (Тарский)
- Идея: ввести уровни языка/метаязыка и запретить предикат истины применимо к собственному языку.
- Достоинства: формально простая, восстанавливает классическую логику и привычные метапрингипы; исчезает круговая самореференция.
- Ограничения: нефизиологична для естественного языка (мы хотим говорить о высказываниях в том же языке), теряет «семантическую замкнутость» и противоречит Тарскому требованию естественной формулировки истины для того же языка.
2) Фикс-пойнт и частичные семантики (Крипке)
- Идея: строить индуктивно множество «основательных» (grounded) предложений и определять частичный предикат истины с неопределёнными (ungrounded) предложениями. Формально используются частичные модели (например, схема сильной Клейни).
- Достоинства: естественно моделирует «обоснованность» утверждений, сохраняет много интуитивных свойств истины, допускает формальную замкнутость (предикат истины в том же языке).
- Ограничения: некоторые предложения остаются бессмысленными/неопределёнными; порождает тонкие вопросы о логическом поведении неопределённостей и о композиционности.
3) Теория ревизий (Gupta–Belnap)
- Идея: итеративно пересматриваем значения предложений; значение определяется как предельное поведение последовательности ревизий.
- Достоинства: детально описывает «осциллирующие» случаи и динамику присвоения истинностных значений; формально выразительна.
- Ограничения: не всегда существует однозначный предельный результат; технически сложна и менее интуитивна.
4) Супервалюационизм и контекстуализм (gap‑подходы)
- Идея (супервалюация): рассматриваем множество «точных» реставраций языка; предложение истинно, если истинно во всех реставрациях, ложно — если в none; иначе неопределено. Контекстуализм: истинность индексируется контекстом, в разных контекстах одна и та же фраза может менять статус.
- Достоинства: сохраняют классическую логику для «точных» интерпретаций; хорошо подходят для естественной семантики и объяснения нечеткости.
- Ограничения: трудности с принципом дизкотрибуции/дискурсивной стабильностью; контекстуализм порой выглядит эвристическим способом «сдвигать» проблему.
5) Параконсистентные логики и диалетизм (Priest)
- Идея: разрешить истинные противоречия (диалетемы), отказаться от принципа взрыва ($A,\neg A\models B$).
- Достоинства: сохраняют семантическую замкнутость и позволяют работать с естественными самоссылками без тривиализации теории; полезны в формальной теории противоречивых баз знаний.
- Ограничения: радикальны философски (принять истинные противоречия трудно интуитивно); требуется переоценить стандартные метоинференции; меньшая общепринятость.
Сравнительная оценка — какие решения наиболее плодотворны и почему
- Для формальных фундаментальных построений (теории арифметики, формальные семантики) полезны две семейства: иерархии (когда нужна полная классика и простота) и Крипке‑тип частичные/фикс‑пойнт семантики (когда нужна замкнутость языка и учёт обоснованности).
- Для моделирования естественного языка и дискурса более плодотворны супервалюационизм и контекстуализм: они соответствуют интуиции о неопределённости и индексальности высказываний, не требуют принятия противоречий.
- Для практики работы с противоречивыми или неполными базами знаний — параконсистентные подходы и ревизионная теория дают мощные инструменты, особенно когда хочется сохранить максимальную выразительность и способность делать выводы, не сводя систему в тривиальность.
Рекомендация: нет единственно «правильного» решения — плодотворен плюрализм методологий в зависимости от цели:
- формальная чистота/математика: Тарский/Крипке;
- семантика естественного языка: супервалюация/контекстуализм;
- практическое управление противоречиями и логикой автоматов рассуждения: параконсистентность/ревизии.
Завершение: критический тезис — любые решения требуют явной позиции по двум вопросам: допускаем ли мы семантическую замкнутость языка и какие логические законы (в частности, взрыв) мы сохраняем. От ответа на эти вопросы зависят преимущества и компромиссы каждой теории.