Для того чтобы определить радиус кривизны траектории в точке с максимальной высотой, мы должны использовать уравнение траектории движения камня.

Сначала найдем максимальную высоту. Для этого воспользуемся уравнением движения по вертикали:

h = (v0^2 * sin^2(alpha)) / 2g,

где h - максимальная высота, v0 - начальная скорость камня, alpha - угол броска к горизонту, g - ускорение свободного падения (принимаем за 9,8 м/с^2).

Подставляем значения:

h = (10^2 sin^2(45)) / 29,8,
h = (100 * 0,5) / 19,6,
h = 50 / 19,6 ≈ 2,55 м.

Теперь найдем радиус кривизны траектории в этой точке. Радиус кривизны вычисляется по формуле:

R = (1 + dy/dx^2)^(3/2) / |d^2y/dx^2|,

где dy/dx - производная функции y(x) по x, d^2y/dx^2 - производная второго порядка.

Для начала найдем производную функции y(x). Учитывая, что траектория движения камня является параболой, уравнение ее траектории будет иметь вид:

y(x) = xtan(alpha) - (g x^2) / (2 v0^2 * cos^2(alpha)).

Находим первую производную:

dy/dx = tan(alpha) - (g x) / (v0^2 cos^2(alpha)).

Теперь найдем вторую производную:

d^2y/dx^2 = -g / (v0^2 * cos^2(alpha)).

Подставляем все значения и находим радиус кривизны:

R = (1 + (-2,55/10)^2)^(3/2) / |-9,8/(10^2 cos^2(45))|,
R = (1 + 0,255^2)^(3/2) / | -9,8 / (100 0,5^2) |,
R = (1 + 0,065)^(3/2) / |-9,8 / 25|,
R = 1,065^(3/2) / |-9,8 / 25|,
R = 1,067 / -0,392 ≈ 2,72 м.

Таким образом, радиус кривизны траектории в точке с максимальной высотой составляет около 2,72 м.