Для решения этой задачи воспользуемся условиями равновесия системы. Пусть угол отклонения нити от вертикали в обоих случаях равен $\theta$. Тогда в условиях равновесия сила электрического поля, действующая на шарик, должна быть равна силе упругости нити.

В воздухе сила электрического поля, действующая на шарик, равна $F_1 = qE$.
В диэлектрике сила электрического поля, действующая на шарик, равна $F_2 = qE_0$, где $E_0 = E/\varepsilon$ - напряженность поля в диэлектрике, $\varepsilon$ - диэлектрическая проницаемость диэлектрика.

Так как углы отклонения нити равны, то $F_1 = F_2$, то есть $qE = qE_0$. Отсюда следует, что $E = E_0$, и тогда $\varepsilon = E/E_0 = \frac{q}{q} = 1$.

Теперь запишем условие равновесия сил на шарике в воздухе и в диэлектрике:

$mg\tan\theta = k_e\frac{q^2}{r^2}$ - для воздуха,
$mg\tan\theta = k_e\frac{q^2}{r^2\varepsilon}$ - для диэлектрика.

Заметим, что $\frac{mg\tan\theta}{k_e\frac{q^2}{r^2}} = 1.25$. Тогда, используя то, что $\varepsilon = 1$, получаем:

$\frac{mg\tan\theta}{k_e\frac{q^2}{r^2\varepsilon}} = \frac{mg\tan\theta}{k_e\frac{q^2}{r^2}} = 1.25$.

Отсюда получаем, что диэлектрическая проницаемость равна $\varepsilon = 1.25$.

Итак, диэлектрическая проницаемость диэлектрика равна 1.25.