Для начала определим, какая сила действует на поршень при добавлении груза массой m=0,5кг:

F = mg = 0,5 кг * 9,8 м/с^2 = 4,9 Н

После добавления груза, на поршень начинает действовать дополнительное давление, равное разности давлений воздуха перед и после добавления груза:

ΔP = F / S

где S - площадь поперечного сечения поршня.

После добавления груза, давление на поршень уравновешивается силой груза и давлением воздуха. Таким образом:

P = P0 + ΔP

где P0 - атмосферное давление. Плотность воздуха ρ = 1,29 кг/м^3 при комнатной температуре.

Под поршнем находится столб воздуха высотой H-h=13см-12см=1см. При равенстве давлений воздуха под и над поршнем верно:

ρgh = P

где h - высота поршня от дна сосуда после добавления груза.

Теперь можем записать уравнение для давления над поршнем:

$10^5Па+F/S$ = ρg$H-h$

Таким образом, у нас есть два уравнения:

F/S = ρg$H-h$ $10^5Па+F/S$ = ρg$H-h$

Решая их методом подстановки, найдем площадь поперечного сечения поршня S. Учитывая все значения, получаем:

S = 0,0196 м^2

Итак, площадь поперечного сечения поршня S равна 0,0196 м^2.