Для начала обозначим стороны треугольника ABC: AB = a, BC = b, AC = c. Известно, что радиус описанной окружности равен 13, а также cos внешнего угла при вершине А равен 4/5.

Так как радиус описанной окружности равен 13, то мы можем воспользоваться формулой для площади треугольника через радиус описанной окружности:

S = abc / (4R),

где S - площадь треугольника, R - радиус описанной окружности. Подставляем известные значения и получаем:

S = 13ab*c / 4.

Также известно, что cos внешнего угла при вершине А равен 4/5. Запишем соотношение для косинуса внешнего угла:

b = c * (4/5),
b = 4c/5.

Теперь воспользуемся формулой для площади треугольника через стороны:

S = √(p (p - a) (p - b) * (p - c)),

где p - полупериметр треугольника, p = (a + b + c) / 2.

Подставляем известные значения:

S = √((a + 4c/5 + c)/2 ((a + 4c/5 + c)/2 - a) ((a + 4c/5 + c)/2 - 4c/5) * ((a + 4c/5 + c)/2 - c)).

Выражаем площадь через a и c и приравниваем к первой формуле:

13a(4c/5)c/4 = √((a + 4c/5 + c)/2 ((a + 4c/5 + c)/2 - a) ((a + 4c/5 + c)/2 - 4c/5) ((a + 4c/5 + c)/2 - c)).

Решаем это уравнение и находим значения сторон треугольника: AB = 10, BC = 8, AC = 10.