Для того чтобы найти длину волны излучения, необходимо знать разницу в энергии между двумя уровнями. Формула для нахождения длины волны излучения связанной с этой разницей в энергии:

[ \lambda = \frac{hc}{\Delta E} ]

Где:

( \lambda ) - длина волны излучения,( h ) - постоянная Планка (( 6.626 \times 10^{-34} ) м^2 кг / с),( c ) - скорость света (( 3 \times 10^8 ) м/с),( \Delta E ) - разница в энергии между уровнями.

Разница в энергии между 5 и 2 уровнями атома водорода равна:

[ \Delta E = E_5 - E_2 ]

Для атома водорода энергия уровней выражается формулой:

[ E_n = -\frac{R_H}{n^2} ]

Где ( R_H = 2.18 \times 10^{-18} ) Дж, а n - номер энергетического уровня.

Тогда:

[ \Delta E = \left(-\frac{2.18 \times 10^{-18}}{5^2}\right) - \left(-\frac{2.18 \times 10^{-18}}{2^2}\right) ]

[ \Delta E = \left(-\frac{2.18 \times 10^{-18}}{25}\right) - \left(-\frac{2.18 \times 10^{-18}}{4}\right) ]

[ \Delta E = \left(-8.72 \times 10^{-19}\right) - \left(-0.545 \times 10^{-18}\right) ]

[ \Delta E = -7.175 \times 10^{-19} \, \text{Дж} ]

Теперь можем найти длину волны излучения:

[ \lambda = \frac{(6.626 \times 10^{-34} \, \text{м}^2 \, \text{кг}/\text{с})(3 \times 10^8 \, \text{м}/\text{с})}{7.175 \times 10^{-19} \, \text{Дж}} ]

[ \lambda = \frac{1.9878 \times 10^{-25} \, \text{м}^3 \, \text{кг}/\text{с}^2}{7.175 \times 10^{-19} \, \text{Дж}} ]

[ \lambda = 2.774 \times 10^{-7} \, \text{м} ]

Таким образом, длина волны излучения, соответствующая переходу электрона с пятого энергетического уровня на второй, составляет 277.4 нм.