Пусть плотность материала шарика равна ( \rho_1 ), а плотность жидкости равна ( \rho_2 ).

Когда шарик находится в воздухе, на него действуют две силы: сила тяжести ( F{\text{т}} = m g ), где ( m ) - масса шарика, ( g ) - ускорение свободного падения; и сила Архимеда ( F{\text{A}} = V \rho{\text{в}} g ), где ( V ) - объем шарика, ( \rho{\text{в}} ) - плотность воздуха.

По условию, показания динамометра в воздухе на 3 раза больше, чем в жидкости, то есть ( F{\text{возд}} = 3F{\text{жидк}} ).

Тогда, можно записать уравнения движения шарика для условий воздуха и жидкости:

[
m g = V \rho{\text{в}} g + 3F{\text{жидк}}
]

[
m = V \rho{\text{в}} + 3 \rho{\text{жидк}}
]

Из последнего уравнения можно выразить объем шарика:

[
V = \frac{m}{\rho{\text{в}} + 3 \rho{\text{жидк}}}
]

Из первого уравнения выразим плотность материала шарика:

[
\rho{1} = \frac{m}{V} = \frac{m(\rho{\text{в}} + 3 \rho{\text{жидк}})}{m} = \rho{\text{в}} + 3 \rho_{\text{жидк}}
]

Таким образом, отношение плотности материала шарика к плотности жидкости равно:

[
\frac{\rho{1}}{\rho{2}} = \frac{\rho{\text{в}} + 3 \rho{\text{жидк}}}{\rho{\text{жидк}}} = \frac{\rho{\text{в}}}{\rho_{\text{жидк}}} + 3
]