Для нахождения отношения выделившегося тепла при подключении источника тока к двум ближайшим вершинам шестиугольника к теплу при подключении к двум наиболее отдаленным вершинам шестиугольника, можно воспользоваться законом Ома.

Сопротивление проволочного каркаса можно выразить через формулу:
R = ρ * L / S,
где ρ - удельное сопротивление материала проволоки, L - длина проволоки между вершинами, S - площадь сечения проволоки.

Так как проволочный каркас имеет форму правильного шестиугольника, то можно найти длину стороны шестиугольника:
L = 7 см.

Для правильного шестиугольника площадь сечения проволоки можно выразить через формулу:
S = $3<em>\surd 3</em>a^2$ / 2,
где a - длина стороны шестиугольника.

Для шестиугольника со стороной 7 см площадь сечения проволоки равна:
S = $3<em>\surd 3</em>7^2$ / 2 = 91.13 см^2.

Теперь можем выразить сопротивление проволоки:
R = ρ * 7 / 91.13.

Так как время подключения одинаково и равно 5 секунд, то для нахождения выделившегося тепла можно воспользоваться формулой:
Q = I^2 R t,
где Q - выделенное тепло, I - ток, R - сопротивление проволоки, t - время подключения.

После подключения источника тока к двум ближайшим вершинам шестиугольника ток проходит через одну сторону шестиугольника, а после подключения к двум наиболее отдаленным вершинам - через две стороны. Следовательно, ток в первом случае будет в два раза больше, чем во втором случае.

Отношение выделившегося тепла при первом подключении к теплу при втором подключении:
Q1 / Q2 = $I{1}^2<em>R</em>t$ / $I{2}^2<em>R</em>t$ = I1^2 / I2^2 = 2^2 / 1^2 = 4.

Итак, отношение выделившегося тепла при подключении источника тока к двум ближайшим вершинам шестиугольника к теплу при подключении к двум наиболее отдаленным вершинам шестиугольника равно 4.