Для начала найдем период колебаний доски с бруском в отсутствие трения. Период колебаний математического маятника равен (T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}), где (l) - длина маятника (в данном случае амплитуда колебаний), (g) - ускорение свободного падения (примем за 9.81 м/с(^2)).

Таким образом, (T = 2\pi\sqrt{\frac{0.22}{9.81}} \approx 0.667) с.

Затем найдем коэффициент трения (f). Когда брусок начинает скользить по доске, трение превращает кинетическую энергию системы в теплоту, поэтому можно записать уравнение сохранения механической энергии:

(E{\text{кин}} + E{\text{пот}} = E{\text{пот}'} + E{\text{тепл}}),

где (E{\text{кин}} = \frac{1}{2}mV^2), (E{\text{пот}} = mgh), (E{\text{пот}'} = \frac{1}{2}kx^2), (E{\text{тепл}} = f \cdot d), (m) - масса бруска, (V) - скорость бруска в момент начала скольжения, (h) - высота, на которой находится брусок относительно его положения равновесия (где (f = kx)), (d) - расстояние скольжения.

Так как масса бруска и масса доски не заданы, то можно сократить постоянные коэффициенты (m) и переписать уравнение как

(\frac{V^2}{2} = gh - \frac{kx^2}{2} - fd).

Откуда можно выразить коэффициент трения (f = \frac{V^2}{2d} + \frac{x^2k}{2d} - gh).

Так как в условии сказано, что начало скольжения происходит при (T < 2.9) c, то (\omega = \frac{2\pi}{T} > \frac{2\pi}{2.9} \approx 2.161) рад/с.

Из уравнения гармонического колебания (x = A\cos(\omega t)) находим скорость

(V = -A\omega\sin(\omega t) = -A\omega\sin(\omega t) = -A\omega\sin\left(\frac{2\pi}{2.9}t\right)).

Подставляем найденные значения и получаем

(f = \frac{(0.22 \cdot 2.161)^2}{2 \cdot 0.22} + \frac{0.22^2 \cdot 2.161^2}{2 \cdot 0.22} - 9.81 \cdot 0.22 \approx 7.364) Н.

Ответ: коэффициент трения между доской и бруском равен примерно 7.364 Н.