Пусть масса оболочки шара равна (m) кг, плотность воздуха равна (\rho{в}), а плотность газа в шаре равна (\rho{г}).

Так как плотность газа в три раза меньше, чем плотность воздуха, то (\rho{г} = \frac{1}{3}\rho{в}).

Обозначим объем оболочки через (V_o), объем газа в шаре через (Vг), объем оболочки и газа вместе через (V{в}).

Тогда масса газа в шаре (mг = \rho{г}Vг = \frac{1}{3}\rho{в}V_г).

Так как воздушный шар парит в воздухе, то сила архимедова подъема равна весу давящего на него воздуха. То есть сила архимедова подъема равна весу газа и оболочки: (F_{ар} = (m + mг) \cdot g = (\rho{в}V{в} + \frac{1}{3}\rho{в}V_г) \cdot g).

Из условия, что объем оболочки много меньше объема шара, можем считать, что объем оболочки равен объему шара, то есть (V_в = V_г + Vo), и (m = \rho{в}V_o).

Сила архимедова подъема равна разности веса воздушного шара и веса газа внутри него: (F{ар} = m \cdot g = \rho{в}Vг \cdot g + \rho{в}V_o \cdot g = Vo \cdot g (\rho{в} + \frac{1}{3}\rho_{в}) = Vo \cdot g \cdot \frac{4}{3}\rho{в}).

Отсюда получаем, что масса оболочки (m = \frac{Vo \cdot g \cdot \frac{4}{3}\rho{в}}{g} = \frac{4}{3}\rho_{в}V_o).

Итак, масса оболочки воздушного шара равна (\frac{4}{3}\rho_{в}V_o).