Пусть общее расстояние, которое нужно преодолеть автомобилисту, равно S км. Тогда он проехал S/2 км со скоростью v км/ч и S/2 км со скоростью v/6 км/ч.

Обозначим время, затраченное на первую половину пути, как t1, а время, затраченное на вторую половину пути, как t2.

Таким образом, имеем систему уравнений:
S/2 = vt1
S/2 = (v/6)t2
S = v*(t1 + t2)

Так как средняя скорость равна v, то
S = S/2 + S/2
S = vt1 + v/6t2

Подставим значения из системы уравнений:
vt1 = v/2
v/6t2 = v/2
v*(t1 + t2) = v

Решив данную систему уравнений, получим:
t1 = 1 час
t2 = 5 часов

Тогда общее время движения будет равно 6 часам.

Теперь найдем общее расстояние S:
S = v(t1 + t2) = 186 = 108 км

Следовательно, на первую треть времени движения средняя скорость будет:
S/3 = 108/3 = 36 км/ч

Ответ: 36 [км/ч]