Хорошо, давайте выводить формулу ( 2aS = v^2 - v_0^2 ) из уравнений ( S = v_0 t + \frac{a t^2}{2} ) и ( v = v_0 + a t ).

Начнем с уравнения ( v = v_0 + a t ). Из этого уравнения выразим время ( t ):
[
t = \frac{v - v_0}{a}
]

Теперь подставим ( t ) в уравнение для расстояния ( S ):
[
S = v_0 t + \frac{a t^2}{2}
]
Заменим ( t ) на ( \frac{v - v_0}{a} ):
[
S = v_0 \left(\frac{v - v_0}{a}\right) + \frac{a}{2}\left(\frac{v - v_0}{a}\right)^2
]

Упростим каждое из слагаемых:
[
S = \frac{v_0 (v - v_0)}{a} + \frac{a}{2} \cdot \frac{(v - v_0)^2}{a^2}
]
[
S = \frac{v_0 (v - v_0)}{a} + \frac{(v - v_0)^2}{2a}
]

Приведем к общему знаменателю:
[
S = \frac{2v_0(v - v_0) + (v - v_0)^2}{2a}
]

Раскроем скобки в числителе:
[
S = \frac{2v_0(v - v_0) + (v^2 - 2vv_0 + v_0^2)}{2a}
]
[
S = \frac{2vv_0 - 2v_0^2 + v^2 - 2vv_0 + v_0^2}{2a}
]
[
S = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}
]

Умножим обе стороны на ( 2a ):
[
2aS = v^2 - v_0^2
]

Таким образом, мы получили желаемую формулу:
[
2aS = v^2 - v_0^2
]