Чтобы найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах (\vec{a} = (1, 2)) и (\vec{b} = (2, -1)), сначала нам нужно определить диагонали параллелограмма.

Диагонали параллелограмма можно найти по следующим формулам:

Первая диагональ (\vec{d_1} = \vec{a} + \vec{b})Вторая диагональ (\vec{d_2} = \vec{a} - \vec{b})

Давайте вычислим каждую из них:

[
\vec{d_1} = \vec{a} + \vec{b} = (1, 2) + (2, -1) = (1 + 2, 2 - 1) = (3, 1)
]

[
\vec{d_2} = \vec{a} - \vec{b} = (1, 2) - (2, -1) = (1 - 2, 2 - (-1)) = (-1, 3)
]

Теперь у нас есть векторы диагоналей (\vec{d_1} = (3, 1)) и (\vec{d_2} = (-1, 3)).

Для нахождения угла (\theta) между двумя векторами можно использовать формулу:

[
\cos(\theta) = \frac{\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}}{|\vec{d_1}| |\vec{d_2}|}
]

Сначала найдем скалярное произведение (\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}):

[
\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = 3 \cdot (-1) + 1 \cdot 3 = -3 + 3 = 0
]

Теперь найдем длины векторов (|\vec{d_1}|) и (|\vec{d_2}|):

[
|\vec{d_1}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}
]

[
|\vec{d_2}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}
]

Теперь подставим все значения в формулу для (\cos(\theta)):

[
\cos(\theta) = \frac{0}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{0}{10} = 0
]

Это означает, что угол (\theta) равен:

[
\theta = \frac{\pi}{2} \text{ (90 градусов)}
]

Таким образом, угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах (\vec{a}) и (\vec{b}), равен (90^\circ).