Для решения задачи используем принцип сохранения центра масс системы.

Давайте обозначим:

( M ) — масса плота,( m_1 = 80 \, \text{кг} ) — масса первого человека,( m_2 = 65 \, \text{кг} ) — масса второго человека,( l = 3.5 \, \text{м} ) — длина плота.

Сначала найдем положение центра масс системы до того, как люди поменяются местами.

Расчет центра масс до смены мест

Плот имеет массу ( M ) и находится в состоянии покоя, поэтому его центр масс будет находиться в середине плота, а значит, на расстоянии ( \frac{l}{2} = 1.75 \, \text{м} ) от одного края.

Обозначим положение высоких людей:

( x_1 = 0 ) для первого человека (на одном краю),( x_2 = l = 3.5 ) для второго человека (на другом краю).

Центр масс системы до смены мест будет расположен по формуле:
[
X{cm, \text{до}} = \frac{M \cdot x{плот} + m_1 \cdot x_1 + m_2 \cdot x_2}{M + m_1 + m2}
]
где ( x{плот} = 1.75 ) м (центр масс плота).

Подставим значения:
[
X_{cm, \text{до}} = \frac{500 \cdot 1.75 + 80 \cdot 0 + 65 \cdot 3.5}{500 + 80 + 65} = \frac{875 + 0 + 227.5}{645} = \frac{1102.5}{645} \approx 1.71 \, \text{м}
]

Расчет центра масс после смены мест

После смены мест первого и второго человека положение людей изменится:

Первый человек (80 кг) теперь находится на краю второго человека: ( x_1' = 3.5 ),Второй человек (65 кг) переместится на край первого человека: ( x_2' = 0 ).

Теперь вычислим новое положение центра масс:
[
X{cm, \text{после}} = \frac{M \cdot x{плот}' + m_1 \cdot x_1' + m_2 \cdot x_2'}{M + m_1 + m_2}
]

Обозначим, что после перемещения плота его центр масс (допустим, сместился на расстояние ( d )):
[
X{cm, \text{после}} = \frac{500 \cdot (1.75 + d) + 80 \cdot 3.5 + 65 \cdot 0}{645}
]
[
X{cm, \text{после}} = \frac{500 \cdot (1.75 + d) + 280}{645}
]

Условие сохранения центра масс

Так как центр масс не изменится, мы можем приравнять его значения до и после:
[
1.71 = \frac{500 \cdot (1.75 + d) + 280}{645}
]

Теперь умножим обе стороны на 645:
[
1.71 \cdot 645 = 500 \cdot (1.75 + d) + 280
]
[
1100.95 = 875 + 500d + 280
]
[
1100.95 = 1155 + 500d
]
[
500d = 1100.95 - 1155
]
[
500d = -54.05 \implies d = -0.1081
]

Это означает, что плот переместился примерно на ( 0.108 ) м (или 10.8 см) в сторону, где находился легкий человек ( m_2 ) до смены мест.

Ответ

Плот переместится на примерно ( 0.108 \, \text{м} ) или ( 10.8 \, \text{см} ) в сторону первого человека, после того как они поменялись местами.