Чтобы найти линейную скорость спутника, двигающегося по низкой круговой орбите, нужно учесть, что линейная скорость ( v ) может быть определена через период обращения ( T ) и радиус орбиты ( R ) по формуле:

[
v = \frac{2\pi R}{T}
]

Где:

( R ) — радиус орбиты,( T ) — период обращения (в секундах).

Таким образом, нам нужно сначала рассчитать радиус орбиты. Мы можем использовать закон всемирного тяготения:

[
\frac{G M m}{R^2} = \frac{m v^2}{R}
]

Где:

( G ) — гравитационная постоянная, примерно ( 6.674 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2 ),( M ) — масса планеты,( m ) — масса спутника (можно сократить, так как она в обеих частях уравнения),( v ) — линейная скорость спутника.

Из уравнения получаем:

[
v^2 = \frac{G M}{R}
]

Запишем это уравнение в виде:
[
R = \frac{G M}{v^2}
]

Теперь давайте выразим ( R ) через ( T ):
Поскольку ( T = \frac{2\pi R}{v} ), мы можем подставить ( v ) из первого уравнения сюда:

Подставим выражение для ( v ):

[
R = \frac{G M T^2}{(2\pi)^2}
]

Теперь сначала преобразуем период ( T ) из часов в секунды:

[
T = 4.02 \, \text{ч} = 4.02 \times 3600 \, \text{с} = 14472 \, \text{с}
]

Теперь подставим все известные значения в уравнение для ( R ):

( G = 6.674 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2 )( M = 5.7 \times 10^{26} \, \text{кг} )

Подставляем:

[
R = \frac{(6.674 \times 10^{-11}) (5.7 \times 10^{26}) (14472)^2}{(2\pi)^2}
]

Вычисляем:

[
R = \frac{(6.674 \times 10^{-11}) (5.7 \times 10^{26}) (209,829,984)}{(6.2832)^2}
]

Значение ( (2\pi)^2 \approx 39.478 ).

Теперь вычислим ( R ):

[
R \approx \frac{(6.674 \times 10^{-11}) (5.7 \times 10^{26}) (209,829,984)}{39.478}
]

Этот расчет даст значение радиуса ( R ), а затем мы подставим его обратно в формулу ( v = \frac{2\pi R}{T} ) для расчета линейной скорости.

Пожалуйста, выполните вышеописанные вычисления, чтобы получить окончательное значение для линейной скорости ( v ).