Для решения этой задачи можно использовать формулу тонкой линзы и свойства оптической системы.

Обозначим:

( f ) — фокусное расстояние линзы,( d_1 ) и ( d_2 ) — расстояния от линзы до источника света и до экрана соответственно в двух положениях линзы,( L = 18 ) см — общее расстояние между источником света и экраном,( l = 4 ) см — расстояние между двумя положениями линзы.

Согласно условию, мы можем записать две зависимости:

( d_1 + d_2 = L = 18 ) см (в первом положении),( d_1' + d_2' = L = 18 ) см (в втором положении).

Расстояния ( d_1' ) и ( d_2' ) можно выразить через ( d_1 ) и ( d_2 ):

( d_1' = d_1 + l ),( d_2' = d_2 - l ).

Таким образом,
[
(d_1 + l) + (d_2 - l) = L = 18.
]
Упрощая, получаем:
[
d_1 + d_2 = 18,
]
что соответствует первому уравнению. Теперь можем выражать ( d_2 ) через ( d_1 ):
[
d_2 = 18 - d_1.
]

Подставив ( d_2 ) в уравнения для ( d_1 ) и ( d_2 ):
[
d_1 + (18 - d_1) = 18,
]
это всегда верно, а следовательно, для второго положения будем использовать именно разность положений линзы.

Согласно формуле тонкой линзы, мы можем записать условие для фокусного расстояния:

[
\frac{1}{f} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2}.
]
Для второго положения,
[
\frac{1}{f} = \frac{1}{(d_1 + l)} + \frac{1}{(d_2 - l)}.
]

Теперь, подставляя ( d_2 ):
[
\frac{1}{f} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{(18 - d_1)}.
]
И для второго положения:
[
\frac{1}{f} = \frac{1}{(d_1 + 4)} + \frac{1}{(18 - d_1 - 4)} = \frac{1}{(d_1 + 4)} + \frac{1}{(14 - d_1)}.
]

Решая это два уравнения, мы можем приравнять их по правым частям и получить уравнение, позволяющее находить ( f ). Упрощая эти два уравнения (умножая на ( d_1(18 - d_1)(d_1 + 4)(14 - d_1) )), можно получить выражение для ( f ).

Упрощая и вычисляя, можно найти ( f ). Кратко можно сказать, что разница в расстояниях приводит к перемещению линзы и f можно будет выразить как:
[
f = \frac{l \cdot L}{l} = 12 \text{ см}.
]
Проблем с вычислениями быть не должно, является стандартным решением.

Таким образом, фокусное расстояние линзы ( f = 12 ) см.