Для решения задачи о математических маятниках, которые совершают разные количества колебаний за одно и то же время, можно воспользоваться формулой для периода колебаний математического маятника:

$$T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$$

где:

$T$ — период колебаний,$L$ — длина маятника,$g$ — ускорение свободного падения.

Число колебаний $n$ за время $t$ связано с периодом следующим образом:

$$n=\frac{t}{T}$$

Если мы обозначим длины маятников как $L_1$ и $L_2$, а количество колебаний как $n_1=10$ и $n_2=25$, то для обоих маятников можно записать:

$$T_1=\frac{t}{n_1}=\frac{t}{10}$$ $$T_2=\frac{t}{n_2}=\frac{t}{25}$$

Теперь, используя период для каждого маятника:

$$T_1=2\pi \sqrt{\frac{L_1}{g}},T_2=2\pi \sqrt{\frac{L_2}{g}}$$

Сравниваем $T_1$ и $T_2$:

$$\frac{t}{10}=2\pi \sqrt{\frac{L_1}{g}},\frac{t}{25}=2\pi \sqrt{\frac{L_2}{g}}$$

Теперь выразим $L_1$ и $L_2$:

$$L_1=\frac{g}{(2\pi {)}^2}{\left(\frac{t}{10}\right)}^2=\frac{g{t}^2}{100(2\pi {)}^2}$$

$$L_2=\frac{g}{(2\pi {)}^2}{\left(\frac{t}{25}\right)}^2=\frac{g{t}^2}{625(2\pi {)}^2}$$

Теперь найдем отношение $\frac{L_1}{L_2}$:

$$\frac{L_1}{L_2}=\frac{\frac{g{t}^2}{100(2\pi {)}^2}}{\frac{g{t}^2}{625(2\pi {)}^2}}=\frac{625}{100}=6.25$$

Таким образом, длины математических маятников относятся как:

$$L_1:L_2=6.25:1$$

Либо, если выразить в общем виде:

$$L_1=6.25L_2$$

Это означает, что первый маятник $совершающий10колебанийзатожевремя$ длиннее второго $совершающего25колебаний$.