Чтобы решить уравнение ( 5^{8x} + 6 = \frac{1}{625} ), сначала преобразуем правую часть уравнения. Заметим, что ( \frac{1}{625} ) можно представить как степень числа 5:

[
625 = 5^4 \implies \frac{1}{625} = 5^{-4}
]

Таким образом, уравнение можно переписать в следующем виде:

[
5^{8x} + 6 = 5^{-4}
]

Теперь из обеих сторон уравнения вычтем 6:

[
5^{8x} = 5^{-4} - 6
]

Теперь нам нужно проверить, возможно ли решить это уравнение. Мы видим, что ( 5^{-4} ) - это положительное число (равное ( \frac{1}{625} )), а ( 6 ) - это большее число. Следовательно, ( 5^{-4} - 6 < 0 ).

Таким образом, уравнение ( 5^{8x} = 5^{-4} - 6 ) не может быть выполнено, так как левая часть ( 5^{8x} ) всегда будет больше или равна нуля, а правая часть меньше нуля.

Следовательно, уравнение ( 5^{8x} + 6 = \frac{1}{625} ) не имеет решений.