Для того чтобы показать, что тело, брошенное вертикально вверх, проходит каждую точку своей траектории с одной и той же по модулю скоростью на пути вверх и на пути вниз, можно воспользоваться законами кинематики и свойствами движения под действием силы тяжести.

Основные уравнения движения: Если тело брошено вверх с начальной скоростью ( v_0 ), то его движение можно описать уравнением:

[
h(t) = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2
]

где ( h(t) ) — высота в момент времени ( t ), ( g ) — ускорение свободного падения (примерно ( 9.81 \, \text{м/с}^2 )).

Скорость на подъеме и спуске: Скорость тела в любой момент времени можно найти, взяв производную от уравнения высоты:

[
v(t) = \frac{dh}{dt} = v_0 - gt
]

На пути вверх, пока тело поднимается, скорость ( v(t) ) уменьшается от ( v_0 ) до ( 0 ) (в момент максимальной высоты). Если тело достигло высоты ( h ), мы можем найти время ( t_1 ) для этой высоты:

[
h = v_0 t_1 - \frac{1}{2} g t_1^2
]

На пути вниз скорость тела увеличивается от ( 0 ) до значения, когда оно снова достигнет высоты ( h ). Если для спуска обозначим время как ( t_2 ), то уравнение движения будет аналогичным.

Скорость на одинаковых высотах: На высоте ( h ):

На пути вверх скорость будет ( v = v_0 - gt_1 ).На пути вниз соответственно скорость будет ( v = - (v_0 - gt_2) ) (здесь отрицательный знак указывает на то, что направление скорости направлено вниз).

Но при этом, учитывая, что ( t_1 ) и ( t_2 ) являются разными промежутками времени, они связаны временем подъема и спуска. Но при достижении одной и той же высоты, модули их значений будут равны:

[
|v_{вверх}| = v_0 - gt1
]
[
|v{вниз}| = g t_2 - v_0
]

Когда тело падает, то вертикальная скорость на каждой высоте в момент подъема и спуска одинакова, но направленная в разные стороны. Эти скорости равны по модулю:

( |v{вверх}| = |v{вниз}| ).

Таким образом, мы можем сделать вывод, что тело, движущееся вертикально вверх, проходит каждую точку своей траектории с одной и той же по модулю скоростью на пути вверх и на пути вниз.