Давайте разберем задачу.

Обозначим весь путь за ( S ), а время, за которое велосипедист проехал этот путь, за ( T ).

Первую треть пути велосипедист проехал за половину времени:
[
S_1 = \frac{S}{3}
]
Время, за которое он проехал эту первую треть, составляет:
[
T_1 = \frac{T}{2}
]
Скорость, с которой он двигался:
[
v_1 = 10 \text{ км/ч}
]

Используем формулу для скорости:
[
v_1 = \frac{S_1}{T_1}
]
Подставим известные значения:
[
10 = \frac{\frac{S}{3}}{\frac{T}{2}}
]

Упрощаем уравнение:
[
10 = \frac{2S}{3T}
]
Умножим обе стороны на ( 3T ):
[
30T = 2S
]
Отсюда:
[
S = 15T
]

Остаток пути (две трети) велосипедист прошел за оставшееся время:
[
S_2 = \frac{2S}{3} = \frac{2 \cdot 15T}{3} = 10T
]
Время, за которое он проехал эту часть пути:
[
T_2 = T - T_1 = T - \frac{T}{2} = \frac{T}{2}
]

Теперь найдем скорость на второй части пути ( v_2 ):
[
v_2 = \frac{S_2}{T_2} = \frac{10T}{\frac{T}{2}} = 10 \cdot 2 = 20 \text{ км/ч}
]

Средняя скорость на всем пути может быть найдена по формуле:
[
v_{\text{ср}} = \frac{S}{T}
]

Зная, что ( S = 15T ):
[
v_{\text{ср}} = \frac{15T}{T} = 15 \text{ км/ч}
]

Таким образом, средняя скорость велосипедиста на всем пути составляет 15 км/ч.