Для нахождения периода колебания маятника, состоящего из невесомого стержня и двух идентичных шаров, можно использовать формулу для периода колебаний гироскопа (или математического маятника) системы с вкладом момента инерции.

Определим моменты инерции: Мы будем рассматривать систему из стержня длиной ( l ) и двух шаров массой ( m ), которые находятся на концах стержня. Сначала найдем момент инерции этой системы относительно точки, расположенной на расстоянии ( d = \frac{1}{6} l ) от верхнего конца стержня.

Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через конец стержня, равен:
[
I{rod} = \frac{1}{3} m{rod} l^2
]
Так как стержень невесомый, ( m_{rod} = 0 ), и момент инерции стержня можно не учитывать.

Момент инерции каждого шара относительно этой оси можно найти по теореме Гюйгенса-Штейнера:
[
I_{sphere} = m r^2
]
где ( r ) — расстояние от оси до центра масс шара. Так как шары располагаются на концах стержня, это расстояния составляют:

Для верхнего шара: ( r_1 = l - \frac{1}{6}l = \frac{5}{6}l )Для нижнего шара: ( r_2 = 0 + \frac{1}{6}l = \frac{1}{6}l )

Следовательно:
[
I{1} = m \left( \frac{5}{6}l \right)^2 = \frac{25}{36} m l^2
]
[
I{2} = m \left( \frac{1}{6}l \right)^2 = \frac{1}{36} m l^2
]

Полный момент инерции системы будет равен:
[
I{total} = I{1} + I_{2} = \frac{25}{36} ml^2 + \frac{1}{36} ml^2 = \frac{26}{36} ml^2 = \frac{13}{18} ml^2
]

Находим период колебаний: Период колебаний сложной системы можно найти по формуле:
[
T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgh}}
]
где ( h ) — расстояние до центра масс системы. Центр масс находится на уровне:
[
h_{cm} = \frac{(l)(\frac{5}{6}) + (0)(\frac{1}{6})}{m + m} = \frac{(l)(\frac{5}{6})}{2m} = \frac{5}{12}l.
]
Эффективная высота ( h ) будет равна ( \frac{5}{12}l - \frac{1}{6}l = \frac{5}{12}l - \frac{2}{12}l = \frac{3}{12}l = \frac{1}{4}l ).

Подставим все известные значения в формулу для периода:
[
T = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{13}{18} ml^2}{m \cdot g \cdot \frac{1}{4}l}} = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{13}{18} l}{g \cdot \frac{1}{4}}} = 2\pi \sqrt{\frac{13}{18} \cdot \frac{4l}{g}}.
]
Упростим:
[
T = 2\pi \sqrt{\frac{52l}{72g}} = 2\pi \sqrt{\frac{13l}{18g}}.
]

Таким образом, период колебания системы составляет:
[
\boxed{2\pi \sqrt{\frac{13l}{18g}}}.
]