Удар идеально упругих шаров различного размера может быть проанализирован с помощью законов сохранения импульса и сохранения кинетической энергии. Давайте рассмотрим этот процесс более подробно.

Закон сохранения импульса: Для двух тел при ударах, общий импульс до удара равен общему импульсу после удара. Если обозначить импульсы шаров как (p_1) и (p_2) (где индекс 1 — первый шар, индекс 2 — второй), то можно записать уравнение:

[
p_1 + p_2 = p'_1 + p'_2
]

где (p'_1) и (p'_2) — импульсы шаров после удара.

Закон сохранения кинетической энергии: В идеальном упругом столкновении кинетическая энергия до удара равна кинетической энергии после удара:

[
\frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} m_1 {v'_1}^2 + \frac{1}{2} m_2 {v'_2}^2
]

где (m_1) и (m_2) — массы шаров, (v_1) и (v_2) — их скорости до удара, а (v'_1) и (v'_2) — скорости после удара.

Теперь, если шары будут разного размера, то их массы будут различаться, поскольку масса шара пропорциональна кубу его радиуса (при условии одинаковой плотности материала):

[
m \propto r^3
]

Перед ударом, если, например, один шар (массой (m_1)) движется к неподвижному шару (массой (m_2)), то после удара импульс и кинетическая энергия распределяются в зависимости от их масс.

Результаты столкновения

В случае одномерного упругого столкновения можно выразить скорости после удара через скорости до удара с использованием следующих формул:

[
v'_1 = \frac{(m_1 - m_2)}{(m_1 + m_2)} v_1 + \frac{2m_2}{(m_1 + m_2)} v_2
]
[
v'_2 = \frac{(m_2 - m_1)}{(m_1 + m_2)} v_2 + \frac{2m_1}{(m_1 + m_2)} v_1
]

Распределение энергии и импульса

При наличии шаров разного размера и массы, эта ситуация может привести к следующим явлениям:

Более легкий шар (с меньшей массой) будет двигаться с большей конечной скоростью, чем более тяжелый.Часть кинетической энергии может передаться от более легкого к более тяжелому шару в процессе удара.Если один из шаров значительно тяжелее другого, то изменения скорости у тяжелого шара будут минимальными, а легкий шар будет испытывать большее изменение скорости.

Таким образом, в соответствии с законами сохранения импульса и энергии, распределение импульса и кинетической энергии в результате удара между шарами будет зависеть как от их начальных скоростей, так и от их масс (размеров).