Коротко — поведение маятника при плавном удлинении подвеса описывается двумя простыми эффектами: период растёт, угловая амплитуда уменьшается $прималыхуглах$ и полная механическая энергия меняется $обычноубывает$, потому что при изменении длины производится работа механизма, который удлиняет нить. Ниже — более детально с формулами, физикой и оговорками.

1) Уравнение движения $общее$ Для плоского маятника с меняющейся длиной r$t$ в полярных координатах $координатаугла\theta$:
θ̈ + 2 $\dot{r}/r$ θ̇ + $g/r$ sin θ = 0.
Это показывает дополнительный «затухающий» член 2 $\dot{r}/r$ θ̇ при ṙ>0 $удлинение$, он уменьшает угловую скорость и амплитуду.

Энергия системы $кинетическая+потенциальная$:
E = 1/2 m ${\dot{r}}^2+r^2{\dot{\theta }}^2$ + m g r $1-cos\theta$.
При изменении r внешняя $радиальная$ сила/мотор выполняет работу и E в общем случае меняется.

2) Период
В малых углах и при фиксированной L период классический:
T = 2π sqrt$L/g$.
Если L растёт плавно, период растёт как sqrt$L$: T$t$ ∝ √$L(t)$. Это справедливо пока малый угол и локальная гравитация постоянна.

3) Аддитивный $адиабатический$ случай: очень медленное удлинение
Если длина меняется «медленно» по сравнению с периодом (адiabatic условие: |L̇| << ω L, где ω = √(g/L)), то действует принцип адиабатического инварианта. В приближении малых углов маятник — гармонический осциллятор, и его действие I = E/ω сохраняется, откуда
E ∝ ω ∝ √$g/L$ ⇒ E$t$ ∝ L$t$^$-1/2$.

Из этого следуют масштабы амплитуд:

угловая амплитуда θ0$t$: из E ≈ $1/2$ m g L θ0^2 $малыеуглы$ получаем
θ0$t$ ∝ L$t$^$-3/4$.
То есть угловая амплитуда уменьшается довольно быстро при удлинении.линейная $дуговая$ амплитуда s = L θ0:
s$t$ ∝ L$t$^$1/4$ — при медленном удлинении дуговая амплитуда растёт медленно $посколькуLмножитсяна\theta 0,дающегослабыйрост$.

Интуиция: угловая амплитуда падает, но из‑за увеличения радиуса перемещение по дуге немного растёт.

Энергия: при медленном росте L энергия падает как L^$-1/2$. Физически это означает, что при выдвижении подвеса механизм отнимает часть кинетической энергии $онвыполняетработупротивцентростремительныхсил$.

4) Быстрое или импульсное изменение длины
Если длина изменяется быстро $например,мгновенноудлиняютнить$, адиабатический инвариант не выполняется. В этом случае возможны разные результаты:

при мгновенном удлинении при неизменной угловой скорости кинетическая энергия в новой системе может оказаться выше или ниже исходной в зависимости от момента фазового положения; в общем амплитуда может резко измениться $обычноуменьшиться$.при «правильном» синхронном изменении длины $шаговоеилипериодическоеизменениеначастоте2\omega$ можно запитать или отнять энергию — эффект параметрической накачки $илизатухания$.

5) Скорость изменения длины: критерий «медленно»
Практический критерий адiabatic: изменение длины за один период должно быть маленьким:
|ΔL|/L per period ≪ 1 ⇔ |L̇| ≪ L ω = L √$g/L$ = √$gL$.

6) Реальные механизмы и приближения, которые надо учитывать

Малые углы: большинство приведённых формул $особенноаналитическиемасштабы$ базируются на sin θ ≈ θ. При больших углах период зависит от амплитуды $эллиптическиеинтегралы$.Удлинение нити: считаем нить/штангу невесомой, неупругой. Если нить растягивается упруго, то нужна учёт упругости и собственных колебаний нити.Масса подвеса нити, момент инерции и распределённость массы груза далеко от точки — всё меняет уравнения.Трение в шарнире, сопротивление воздуха — диссипация уменьшит энергию дополнительно.Работа механизма: фактическая энергия маятника меняется за счёт работы мотора/катушки; надо учесть силу натяжения и механизм удлинения $реакциябарабана,трения$.Поперечное смещение центра масс при изменении «длины» $есличеловекнакачеляхподтягивается$ — сложная геометрия и возможность накачки энергии при правильной фазировке.Если длина изменяется периодически с частотой близкой к 2ω, возможны параметрыческие резонансы $прибавлениеэнергии$.Корректность адiabatic приближения и конечное время протекания процесса: для практических расчётов можно численно интегрировать уравнение θ̈ + 2 $\dot{L}/L$ θ̇ + $g/L$ sin θ.

7) Итоговые практические выводы

Период увеличивается ∝ √L.При очень медленном удлинении: полная энергия уменьшается ∝ L^$-1/2$; угловая амплитуда θ0 ∝ L^$-3/4$; дуговая амплитуда s = L θ0 ∝ L^$1/4$.При быстром/импульсном изменении результатов ждать нельзя — амплитуда и энергия могут резко измениться, возможна и накачка энергии при специально подобранном режиме.В анализе учитывать малый угол, скорость изменения длины $адiabatic$, трения, массу и упругость подвеса, работу механизма удлинения.

Если хотите, могу:

вывести формулы подробнее $выведениедействия,пунктзапунктом$,дать численный пример для конкретной зависимости L$t$ $напримерL(t)=L0(1+\alpha t)$ и начальных условий,или показать модель и численную интеграцию уравнения движения для иллюстрации.