Коротко — причина непрерывности и единственности спектра чёрного тела в том, что в термодинамическом равновесии в полой полости электромагнитное поле занимает все собственные моды резонатора, которые по частоте очень плотно заполнены, а равновесное распределение энергии между ними определяется только температурой $законКирхгофа,детальныйбаланс$. Планковская формула получается, если считать эти моды квантованными фотонами $бозонами$ с энергией hν; пределы Вина и Рэлея — Джинса — это классические и высокочастотные приближения этой формулы.

Детали и формулы

1) Подсчёт мод и зависимость только от температуры.

В кубической полости объёмом V число электромагнитных мод в спектральном интервале dν на единицу объёма равно $плотностьсостояний$ g$\nu$ dν = $8\pi {\nu }^2/c^3$ dν.Энергетическая плотность в интервале dν равна g$\nu$·⟨E$\nu$⟩, где ⟨E$\nu$⟩ — средняя энергия одной моды на частоте ν в установленном термическом равновесии при температуре T.Закон Кирхгофа устанавливает, что излучательная способность идеального поглотителя $чёрноготела$ одинакова для всех материалов и определяется только T и ν $тоестьспектр—тотже,чтоиполевполости$, поэтому задача сводится к вычислению ⟨E$\nu$⟩ при заданной T.

2) Классический результат $Рэлея—Джинс$.

Классическая статистика $принциправнораспределенияэнергии$ даёт для каждой степ. свободы среднюю энергию kT. Для электромагнитной моды это даёт ⟨E⟩ = kT.Тогда энергетическая плотность
u$\nu$ = g$\nu$·kT = $8\pi {\nu }^2/c^3$ kT.Аналогично для спектральной яркости $радианс$ Bν$T$ = $2{\nu }^2/c^2$ kT.Проблема: интеграл по ν расходится $ультрафиолетоваякатастрофа$ — классика предсказывает бесконечную энергию излучения при любых T, что противоречит эксперименту.

3) Планковский подход и формула.

Планк предположил, чтобы получить согласие с экспериментом, что энергетические обмены между излучателями $осцилляторами$ и полем происходят «квантами» энергии ε = hν. Современный вывод: фотоны — бозоны с энергией hν и средней занятностью $босонноераспределениепринулевомхимическомпотенциале$ n̄$\nu$ = 1/$e^{h\nu /(kT)}-1$.Тогда средняя энергия моды ⟨E⟩ = hν·n̄$\nu$ = hν/$e^{h\nu /(kT)}-1$.Подставляя в u$\nu$ = g$\nu$·⟨E⟩, получаем энергетическую плотность
u$\nu$ = $8\pi h{\nu }^3/c^3$ · 1/$e^{h\nu /(kT)}-1$.Спектральная яркость $радианс$ Планка:
Bν$T$ = $2h{\nu }^3/c^2$ · 1/$e^{h\nu /(kT)}-1$.
Это — Планкова формула, экспериментально верная во всём диапазоне частот.

4) Пределы: Рэлея — Джинс и Вина.

Низкочастотный / классический предел: hν << kT $x=h\nu /kT\ll 1$. Тогда e^{x} − 1 ≈ x, и
⟨E⟩ ≈ hν/$x$ = kT,
u$\nu$ ≈ $8\pi {\nu }^2/c^3$ kT — это формула Рэлея — Джинса. Физическая интерпретация: при малой энергии кванта тепловая энергия достаточна, чтобы возбуждать много фотонов, и классическая равномерная усреднённость применима.Высокочастотный / квантовый предел: hν >> kT $x\gg 1$. Тогда e^{x} − 1 ≈ e^{x}, и
⟨E⟩ ≈ hν e^{−hν/$kT$},
u$\nu$ ≈ $8\pi h{\nu }^3/c^3$ e^{−hν/$kT$} — это Винова аппроксимация. Физический смысл: квант энергии слишком велик по сравнению с тепловой энергией kT, вероятность возбуждения такого фотона экспоненциально мала $факторБольцмана$.

5) Другие полезные следствия.

Смещение Вина: частота максимума ν_max пропорциональна T. Для спектральной плотности по частоте максимум задаётся решением dBν/dν = 0, что даёт hν_max/$kT$ ≈ 2.821. Следовательно ν_max ∝ T. Для спектра по длине волны максимум даёт другую константу, поэтому часто пишут закон Вина в виде λ_max T ≈ 2.898·10^−3 m·K.Интегрирование Планка по всем частотам даёт энергетическую плотность ∝ T^4 и закон Стефана — Больцмана для потока мощностей: вытекает σT^4.

Физическая интерпретация в целом

Непрерывность спектра: хотя в замкнутой полости моды дискретны, их плотность по частоте пропорциональна ν^2 и для макроскопических объёмов мод очень много и они почти непрерывно покрывают ось частот — поэтому наблюдаемый спектр гладкий.Зависимость только от T: в термодинамическом равновесии распределение энергии между модами определяется температурой и общими закону $детальныйбаланс,аддитивностьмод$, поэтому форма спектра не зависит от материала стенок $еслиполостьдостигаетполногопоглощения$ — это суть универсальности чёрного тела.Планкова формула — современно: распределение фотонов при нулевом химическом потенциале $фотонынесохраняются$, то есть частота и температура определяют среднее число фотонов на моде. Классический предел $Рэлея—Джинс$ верен при больших средних числах фотонов на моде; Винова аппроксимация — там, где фотоны редки и их появление подчинено экспоненциальной «цене» hν/kT.

Если нужно, могу вывести Планковскую формулу пошагово — подсчитать плотность состояний, дать разложение по пределам и показать численные примеры $положениемаксимума,энергияввидимомдиапазонеит.п.$.