Кратко и по сути.

1) Индуцированные токи

Для узкой проволочной рамки (один контур) индуцированный ЭДС вокруг контура определяется законом Фарадея
[
\mathcal{E}=-\frac{d\Phi}{dt},\qquad \Phi=\iint_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}.
]
Если суммарное сопротивление рамки (R) и индуктивностью можно пренебречь в стационарном режиме, то скалярный ток (вдоль всего контура) равен
[
I=\frac{\mathcal{E}}{R}.
]Для объёмной/плоской проводящей рамки (толстая лента, пластина) возникают вихревые (Эдди) токи с плотностью тока, определяемой уравнением Ома для движущегося проводника:
[
\mathbf{J}=\sigma\big(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B}\big),
]
при этом (\nabla\cdot\mathbf{J}=0) и (\mathbf{E}) находится из граничных условий и уравнений Максвелла. Иными словами: в одном витке — единый контурный ток (I); в сплошном проводнике — распределённые вихревые токи, локально пропорциональные (\mathbf{v}\times\mathbf{B}) и замыкающиеся по проводимости тела.

2) Силы Лоренца

Плотность силы на элемент объёма:
[
\mathbf{f}=\mathbf{J}\times\mathbf{B}.
]Полная сила и момент на рамку:
[
\mathbf{F}=\int_V\mathbf{J}\times\mathbf{B}\,dV,
\qquad
\mathbf{M}=\int_V\mathbf{r}\times(\mathbf{J}\times\mathbf{B})\,dV.
]Для тонкого проводника с током (I) элементарная сила на элемент длины (d\mathbf{l}):
[
d\mathbf{F}=I\,d\mathbf{l}\times\mathbf{B}(\mathbf{r}).
]
В неоднородном поле отдельные участки испытывают разные силы; их сумма обычно даёт тормозящий (против движения) эффект (закон Ленца).

3) Механическая работа (мощность), необходимая для поддержания движения

Мощность внешней силы, совершаемой для сохранения скорости (\mathbf{v}), выражается через плотность сил:
[
P_{\text{ext}}=-\intV(\mathbf{J}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{v}\,dV.
]
Отметим тождество
[
(\mathbf{J}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{v}=\mathbf{J}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{B}),
]
поэтому
[
P{\text{ext}}=-\int_V\mathbf{J}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,dV.
]Эквивалентные формы (в установившемся режиме, когда изменение магнитной энергии пренебрежимо или отсутствует):
[
P_{\text{ext}}=\intV\mathbf{J}\cdot\mathbf{E}\,dV \quad(\text{мощность Джоуля}),
]
и для одиночного контура
[
P{\text{ext}}=I\mathcal{E}=I\Big(-\frac{d\Phi}{dt}\Big)=I^2R.
]
Таким образом вся механическая работа переходит в электрическое рассеяние (нагрев) и/или изменение магнитной энергии (если поток меняется во времени).

Краткое резюме: распределение токов — либо единый контурный ток (\mathcal{E}/R) для тонкой рамки, либо распределённые эдди-токи, заданные (\mathbf{J}=\sigma(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})); локальная сила — (\mathbf{J}\times\mathbf{B}); механическая мощность, нужная для поддержания движения, равна интегралу (-\int(\mathbf{J}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{v}\,dV) и в установившемся режиме превращается в джоулевы потери (I^2R).