1) Сохраняющийся закон. При отсутствии внешнего момента сил суммарный момент импульса (угловой момент) сохраняется:
[
\mathbf{L}=\sum_i \mathbf{r}_i\times \mathbf{p}_i=\text{const}.
]
Для вращающегося фигуриста вокруг заданной оси это обычно записывают скаляром:
[
L=I\omega=\text{const},
]
где (I) — момент инерции относительно оси, (\omega) — угловая скорость.

2) Связь момента инерции и угловой скорости. Момент инерции определяется распределением масс:
[
I=\sum_i m_i r_i^2\quad(\text{или }I=\int r^2\,\mathrm{d}m).
]
Из условия сохранения момента импульса имеем
[
\omega=\frac{L}{I}.
]
При сведении рук к телу радиусы (r_i) уменьшаются, (I) уменьшается, поэтому (\omega) увеличивается (чтобы (L) оставался постоянным).

3) Почему при этом меняется кинетическая энергия. Кинетическая энергия чисто вращательного движения равна
[
K=\tfrac12 I\omega^2.
]
Подставляя (\omega=L/I), получаем
[
K=\frac{L^2}{2I}.
]
Отсюда видно, что при уменьшении (I) энергия (K) растёт. Увеличение механической (ротационной) энергии не нарушает закона сохранения энергии, потому что эта энергия поступает из работы внутренних сил — мышц фигуриста. При сведении рук мышцы совершают работу против инерционных («центробежных» в неинерционной системе) эффектов; эта работа идет на увеличение кинетической энергии вращения. Аналогично, при выведении рук наружу кинетическая энергия уменьшается и избыточная энергия может рассеяться (например, в мышцах).

Коротко: (L=I\omega) сохраняется (при отсутствии внешнего момента), поэтому (\omega\propto1/I); кинетическая энергия меняется по закону (K=L^2/(2I)), и её изменение объясняется работой внутренних сил (мышц), а не нарушением законов сохранения.