Коротко суть парадокса. Демон Максвелла наблюдает молекулы газа и, пропуская одни в одну сторону и другие в другую через дверцу, якобы понижает энтропию газа и получает работу, что противоречит второму началу термодинамики.

Ключевые моменты для разрешения парадокса.

1) Пример: двигатель Сцилларда. Один атом в цилиндре + вставка перегородки + измерение положения даёт 1 бит информации; из этого бита можно извлечь работу (W=k_B T\ln 2). Это показывает связь «информация ↔ энергия».

2) Что такое «информация» формально. Для классической системы и измерения взаимная информация
[
I(X;M)=\sum{x,m} p(x,m)\ln\frac{p(x,m)}{p(x)p(m)}
]
измеряет корреляцию между состоянием системы (X) и памятью демона (M). В квантовом варианте
[
I(\rho{SM})=S(\rho_S)+S(\rhoM)-S(\rho{SM}),
]
где (S) — энтропия фон Неймана.

3) Изменение энтропии и роль корреляции. Демон, измерив систему, создаёт корреляцию: энтропия системы снижается, но общая энтропия системы+памяти не уменьшается автоматически, потому что часть «упорядоченности» переходит в информацию (взаимную информацию). Формула обобщённого второго начала:
[
\Delta S_{\rm tot}\ge -\Delta I,
]
то есть уменьшение термодинамической энтропии системы может быть компенсировано увеличением информации/корреляций.

4) Стоимость измерения и записи данных. Измерение теоретически может быть выполнено рекурсивно (почти без диссипации) в квазистатическом обратимом процессе, но повторное использование памяти требует её сброса в стандартное состояние. По принципу Ландауэра очистка одного бита памяти требует не менее
[
Q_{\rm erase}\ge k_B T\ln 2
]
тепла, что приводит к увеличению энтропии среды. Именно этот платёж при стирании обеспечивает невозможность вечного извлечения энергии демоном.

5) Современные формулы информативной термодинамики (Sagawa–Ueda и стохастическая термодинамика). Для процессов с обратной связью справедливо ограничение на работу:
[
\langle W\rangle \ge \Delta F - k_B T\, I,
]
или эквивалентно максимальное извлекаемое вследствие информации количество работы порядка (k_B T I). Общая неубывающая величина включает энтропию среды и уменьшение взаимной информации.

6) Практические и концептуальные уточнения. На практике:

Ландауэров предел достигается только в квазиобратимых (медленных) процессах; в реальных устройствах диссипация обычно больше.Измерение может иметь собственные энергетические и временные затраты; эксперименты и теоретические модели в стохастической термодинамике учитывают эти расходы и подтверждают общую нерушимость второго начала при учёте памяти и среды.Современная интерпретация: «информация — физична»: запись и стирание информации связаны с тепловыми затратами, и если включить память демона и окружающую среду в систему, второй закон не нарушается.

Короткий итог: демон не нарушает второе начало, потому что либо измерение/запись требует энергии/увеличивает энтропию, либо, если измерение выполнено обратимо, последующая очистка памяти (необходимая для повторного использования) приводит к как минимум (kB T\ln 2) на бит тепла. Современная информационная термодинамика формализует эти утверждения через взаимную информацию и обобщённые неравенства вида (\Delta S{\rm tot}\ge -\Delta I) и (\langle W\rangle \ge \Delta F - k_B T I).