Кратко — по трём аспектам: уровни (орбитальная + спиновая), туннелирование, экспериментальные признаки в проводимости.
Уровни энергии
- Для малых $B$ вводят минимальную замену $\mathbf{p}\to \mathbf{p}-e\mathbf{A}$. Орбитальная первая ненулевая коррекция обычно квадратична по $B$ (диамагнитный сдвиг), если несшумленные волновые функции можно считать реальными:
$$\Delta E_n^{\mathrm{orb}}\simeq \frac{e^2{B}^2}{8m}⟨r^2{⟩}_n,$$ где $⟨r^2{⟩}_n$ — средний квадрат координаты в состоянии $n$. Условие применимости «слабого» поля: $\hslash {\omega }_c\ll \Delta E$ (свободная циклотронная частота ${\omega }_c=eB/m$), или эквивалентно магнитная длина $l_B=\sqrt{\hslash /(eB)}$ гораздо больше характерного размера ящика.
- Линейный по $B$ вклад даёт только спин (Зееманово расщепление):
$$\Delta E_Z=g{\mu }_{B}B{S}_z,{\mu }_B=\frac{e\hslash }{2m}.$$ - При увеличении $B$ орбитальные уровни постепенно переходят в ландау‑типы, вырождение и плотность состояний меняются, когда $\hslash {\omega }_c$ сравнима с расщеплением уровней ящика.
Туннелирование электрона
- Амплитуда туннелирования получает фазовый множитель (Peierls): $t\to t{e}^{i\varphi }$, $\varphi =\frac{e}{\hslash }\int \mathbf{A}\cdot d\mathbf{l}$ — важен для интерференции (Aharonov–Bohm эффекты).
- Магнитное поле меняет энергию локализованного состояния $\Rightarrow$ меняет параметр затухания в барьере $\kappa =\sqrt{2m(V-E)}/\hslash$. Для туннельной вероятности $P\propto e^{-2\kappa d}$ при малом изменении энергии $\delta E$ получаем приближенно
$$\frac{\delta P}{P}\approx \frac{2md}{{\hslash }^2\kappa }\delta E,$$ где $d$ — ширина барьера. Поскольку $\delta E\sim B^2$ (орбитально) или $\sim B$ (спин), изменение величины экспоненциально чувствительное, но при «слабом» $B$ обычно малое.
- Дополнительно магнитное поле ограничивает траекторию (циклотроны), что снижает перекрытие волновых функций между соседними ящиками при $l_B$ меньше размера перекрытия — сильнее подавляет туннель при росте $B$.
Экспериментальные сигнатуры в проводимости
- Смещение резонансов туннельной проводимости и пиков плотности состояний квадратично по $B$ при очень малых полях (диамагнитный сдвиг): позиция резонанса $E_n(B)\approx E_n(0)+{\alpha }_n{B}^2$.
- Изменение амплитуды проводимости через экспоненциальную чувствительность $P$ к $\delta E$ — малые изменнения проводимости при слабом $B$, масштаб изменения определяется фактором $\frac{2md}{{\hslash }^2\kappa }$.
- Наименьшие поля разрушают обратимость траекторий и подавляют эффект слабой локализации: характерная низкопольная магнитозависимость проводимости (кутик при $B=0$) — в отсутствии сильного спин‑орбитала наблюдается уменьшение сопротивления с ростом $B$ (падение WL), в присутствии сильного спин‑орбитала — противоположный знак (WAL).
- При росте поля до границы «слабого» режима появятся квантовые осцилляции (Shubnikov–de Haas) и в пределе — проявления ландуа‑квантования/квантового Холла, когда $\hslash {\omega }_c$ становится сравнимо с шириной уровней и температурой.
- Фазовые эффекты (Aharonov–Bohm): при когерентных путях — периодические осцилляции проводимости с периодом, соответствующим потоку ${\Phi }_0=h/e$ через контур.
Итого: при постепенном введении слабого перпендикулярного $B$ орбитальные уровни сдвигаются квадратично ($\propto B^2$), спиновые — линейно; туннелирование меняется из‑за сдвига уровней (экспоненциально чувствительно) и фазовых факторов; в проводимости ожидаются малые квадратичные сдвиги резонансов, изменение амплитуды туннельных пиков, низкопольная магнитозависимость от подавления слабой локализации и при увеличении $B$ переход к осцилляциям Ландау.