Физические причины температурной нестабильности MEMS‑акселерометра
1. Температурная зависимость жёсткости/модуля упругости: изменение модуля Юнга $E(T)$ смещает резонансную частоту и шкалу чувствительности (scale factor).
2. Тепловое расширение и градиенты: разная СТЕ (коэффициент теплового расширения) материалов корпуса/кристалла вызывает механические напряжения и постоянное смещение (bias).
3. Тензочувствительность/пьезорезистивные элементы и CMOS‑электроника: сопротивления, смещения усилителей и опорные напряжения зависят от $T$.
4. Смена демпфирования/вязкости газа: squeeze‑film damping и добротность $Q(T)$ влияют на законы передачи механической системы.
5. Зарядовые эффекты и релаксация в диэлектриках: накопление/перемещение зарядов меняет нулевой уровень.
6. Термальный шум и шума Броуна: шум масштабируется как $\sqrt{T}$, что повышает неопределённость при нагреве.
7. Термическая инерция и нелинейность: временные задержки между корпусом и массой приводят к зависимостям от $\dot{T}$ и гистерезису.
8. Усталость/старение при циклах температуры: долговременное изменение смещений и коэффициентов.
Инженерные способы компенсации (аппаратные)
- Материалы и механика: использование согласованных CTE материалов, симметричная конструкция, стресс‑реливы, демпфирующие крепления.
- Вакуумная/герметичная упаковка и термостатирование: уменьшает squeeze‑film damping и внешние градиенты.
- Интегрированный температурный сенсор близко к чувствительному элементу (минимизировать расстояние).
- Закрытая петля (force‑rebalance): активное управление массой уменьшает чувствительность к параметрам механики и температурным сдвигам.
- Проектирование на малую чувствительность к напряжениям (stress‑insensitive anchors), дублирование/дифференциальная геометрия.
- Возможность встроенного термоциклического калибрования (нагреватель на кристалле) для калибровки in‑situ.
Алгоритмические методы компенсации
1. Базовая модель и коррекция:
- Модель измерения: $$a_{raw}(t)=S(T(t))\cdot a_{true}(t)+b(T(t))+n(t).$$ - Применять корректировку: $$a_{corr}=\frac{a_{raw}-b(T)}{S(T)}.$$ - Аппроксимировать $b(T)$ и $S(T)$ полиномами или таблицей LUT: $$b(T)=b_0+b_1\Delta T+b_2\Delta T^2,S(T)=S_0+S_1\Delta T+S_2\Delta T^2.$$
2. Учет динамики температуры (термальная инерция):
- Модель с лагом: $$b(t)=b_{\infty }(T(t))+k\cdot e^{-t/\tau }$$ или использовать вход $T$ и $\dot{T}$ в регрессию: $$b\approx b_0+b_1\Delta T+b_2\Delta \dot{T}.$$
3. Адаптивная/статистическая калибровка:
- Калман‑фильтр: ввести bias как состояние: $$\{\begin{array}{l}{b}_{k+1}=b_k+w_k,\\ z_k=S(T_k)a_k+b_k+v_k,\end{array}$$ где фильтр оценивает $b_k$ онлайн с учётом температуры.
- Использовать идентификацию (OLS, Ridge) или ML (нейросеть/GBT) для нелинейных зависимостей, тренировав на термокамере.
4. Sensor fusion и в‑run калибровка:
- Слияние с гироскопами, магнитометром, GNSS в расширенном KF для коррекции долгосрочного дрейфа.
- Автокалибровка при обнаружении статического состояния (stationary detection) — обновлять $b(T)$ при нулевом ускорении.
5. Практические рекомендации:
- Измерять $T$ рядом с датчиком, дискретизация температуры синхронно с данными акселя.
- Калибровать по полному диапазону рабочих температур и записать гистерезис (при подъёме и спуске $T$).
- Характеризовать Allan‑variance для выбора временных констант фильтров.
- Сохранять адаптивную таблицу коэффициентов и периодически пересчитывать при эксплуатации.
Короткая формула коррекции, которую обычно внедряют в прошивку:
$$a_{corr}(t)=\frac{a_{raw}(t)-(b_0+b_1\Delta T+b_2\Delta T^2)}{S_0+S_1\Delta T+S_2\Delta T^2}.$$
Заключение: сочетание аппаратных мер (материалы, упаковка, force‑rebalance, встроенный термометр) и алгоритмической компенсации (температурная модель + адаптивный фильтр/kalman + sensor fusion) даёт наиболее устойчивый результат; важна полная термальная характеризация и учёт динамики $T$ и гистерезиса.