Кратко — при классической циркулярной ограниченной трёхтелой задаче (CRTBP) точки Лагранжа $L_4$ и $L_5$ устойчивы по линейной теории тогда и только тогда, когда масса меньшего из двух первичных тел удовлетворяет неравенству
$$\mu =\frac{m_2}{m_1+m_2}<{\mu }_{\mathrm{crit}}=\frac{1-\sqrt{23/27}}{2}\approx \mathrm{0.03852.}$$ Это результат Гашо/Рафа (Gascheau–Routh): при $\mu <{\mu }_{\mathrm{crit}}$ собственные значения линейной системы — чисто мнимые, малые возмущения дают колебания (либрации) вокруг $L_4,L_5$.
Что дополнительно важно по орбитальной геометрии:
- сами точки $L_4,L_5$ соответствуют вершинам равностороннего треугольника с базой между двумя первичными телами; требуются почти круговые и близко к одной плоскости орбиты первичных для полноты классической картины;
- при небольших отклонениях от круговой орбиты (малые эксцентриситеты, малые наклонения) область устойчивости сохраняется, но её размер уменьшается — при больших эксцентриситетах/наклонениях устойчивость может исчезать;
- устойчивость касается малых амплитуд либрации: большие амплитуды могут выходить в область резонансов и приводить к неустойчивости (условная/линеарно устойчиво, но не глобально).
Краткая масштабная оценка частоты малых либраций: частота масштабируется как $\omega \sim n\sqrt{\mu }$, где $n$ — среднее движение (орбитальная частота) первичных (точная формула зависит от детализации линейной задачи).
Какие возмущения могут нарушить равновесие (и как они действуют):
- Сторонние гравитационные возмущения (другие планеты, звезды): вводят дополнительные силы и резонансные воздействия (сильны, если масса/близость третьего тела значительны или имеются близкие соотношения частот) — могут вызвать постепенную диффузию и эвакуацию тел из троянской области.
- Солнечные/внешние возмущения в системах типа Земля–Луна: если третий телец (Солнце) сравнительно велик по влиянию, эффективность стабилизации уменьшается и фактически точки могут быть неустойчивы в реальной многотельной системе даже при $\mu <{\mu }_{\mathrm{crit}}$.
- Диссипативные силы (газовый диск, газовое трение, аэродинамический тормоз): приводят к уменьшению энергии и углового момента тел, что меняет центр либрации и может либо затормозить и захватить тела в троянские зоны (для некоторого диапазона параметров), либо постепенно вывести их из равновесия и спровоцировать падение на планету/звезду. Эффект сильнее для мелких тел.
- Самогравитация диска/планетезималей: плотный газовый/пылевой диск или массив планетезималей меняет потенциальную поверхность, сдвигает положения равновесия и может разрушить устойчивость.
- Массовая миграция и рост масс (планетная миграция, аккреция): меняют $\mu$ и орбитальные параметры со временем; быстрые изменения приводят к нарушению адъябатичности и к потере захваченных троянцев.
- Негравитационные мелкомасштабные воздействия (радиационное давление, Yarkovsky, P–R drag): для мелких частиц/астероидов могут приводить к диффузии орбит и выходу из троянских зон.
- Эксцентриситет и наклонение орбит первичных: при существенных значениях стабилизация уменьшается; в эллиптической ОГЗЗП появляются дополнительные условия стабильности, и область допустимых массо-параметров ужимается.
Примеры и следствие:
- Солнце–Юпитер: $\mu \approx 9.5\times 10^{-4}\ll {\mu }_{\mathrm{crit}}$ — потому юпитерианские троянцы устойчивы и существуют миллионы лет.
- Земля–Луна: $\mu \approx 0.012<{\mu }_{\mathrm{crit}}$, но влияние Солнца и другие возмущения делают реальные $L_4,L_5$ менее надёжными; популяция там мала.
- Для практики: наличие малых возмущений не обязательно немедленно разрушает троянскую популяцию — часто требуется длительная накопительная диффузия (Myr–Gyr), но крупные возмущения или быстрые миграции разрушают быстро.
Итого: стабильность $L_4,L_5$ в идеализованной задаче требует $\mu <{\mu }_{\mathrm{crit}}$ и близких к круговым, копланарных орбит; в реальных системах устойчивость ограничена размерами области либрации и уязвима к сторонним гравитационным возмущениям, диссипативным силам, самогравитации диска и быстрой эволюции масс/орбит.