Коротко — ключевые формулы, масштабные зависимости и практические выводы.
1) Базовая формула локального производства энтропии (объёмная плотность) для несжимаемой вязкой жидкости с теплопереносом:
$$\sigma (\mathbf{x},t)=\frac{\Phi }{T}-\frac{\mathbf{q}\cdot \nabla T}{T^2},$$ где $\Phi ={\tau }_{ij}{\partial }_j{v}_i$ — вязкое диссипационное преобразование кинетической энергии в тепло (для ньютоновской жидкости $\Phi =2\mu S_{ij}{S}_{ij}$, $S_{ij}=\frac{1}{2}({\partial }_j{v}_i+{\partial }_i{v}_j)$), $\mathbf{q}$ — тепловой поток (Фурье: $\mathbf{q}=-k_{\mathrm{eff}}\nabla T$), $T$ — абсолютная температура. Полный уровень генерации в замкнутой системе:
$${\dot{S}}_{gen}={\int }_V\sigma dV={\int }_V\left(\frac{\Phi }{T}+\frac{k_{\mathrm{eff}}|\nabla T{|}^2}{T^2}\right)dV.$$
2) Вклад турбулентности.
- Турбулентность увеличивает градиенты скорости на малых масштабах и даёт дополнительную (среднюю) скорость диссипации кинетической энергии $\epsilon$ (ед. мощности на массу). Соответствующий вклад в генерацию энтропии масштабно:
$${\dot{S}}_{visc}\sim {\int }_V\frac{\rho \epsilon }{T}dV.$$ Для хорошо развитого турбулентного потока приблизительная оценка диссипации:
$$\epsilon \sim \frac{U^3}{L},$$ следовательно
$${\dot{S}}_{visc}\sim \frac{\rho V{U}^3}{LT},$$ где $U$ — характерная скорость, $L$ — крупный масштаб, $V$ — объём.
- Турбулентное перемешивание также увеличивает эффективную теплопроводность $k_{\mathrm{eff}}=k+k_t$ (турбулентная диффузия $k_t$), поэтому тепловая составляющая
$${\dot{S}}_{th}={\int }_V\frac{k_{\mathrm{eff}}|\nabla T{|}^2}{T^2}dV$$ обычно возрастает. Однако при фиксированном тепловом потоке $Q$ сильнее перемешивание может уменьшить локальные $|\nabla T|$ и тем самым снизить ${\dot{S}}_{th}$ — результат зависит от граничных условий (фиксированная разность температур vs фиксированный поток).
3) Параметры потока, повышающие необратимость (увеличивают ${\dot{S}}_{gen}$)
- Reynolds number $Re=\frac{\rho UL}{\mu }$: при переходе в турбулентный режим $\epsilon$ резко растёт.
- Удельная скорость колебаний/флуктуаций $u^{\prime }$ и градиенты скорости (характерная скорость сдвига / скорость деформации $S$); $\Phi \propto \mu S^2$ и турбулентно $\propto \rho \epsilon$.
- Геометрия и препятствия (сильные сужения, острые углы, решётки, лопатки) — создают локальные высокие градиенты и повышают диссипацию.
- Интенсивность принудительного смешения (мощность мешалки $P$): вся подводимая мощность, в конце концов, диссипируется и даёт минимум
$${\dot{S}}_{mech}=\frac{P}{T}.$$ - Турбулентная турбулентная теплопроводность $k_t$ и число Прандтля $Pr$: при малых $Pr$ (теплопроводность велика) тепловые градиенты сглаживаются, при больших $Pr$ тепловая диссипация локализована — разные эффекты на ${\dot{S}}_{th}$.
4) Почему это важно для энергетической эффективности
- Диссипированная механическая энергия — необратимо превращается в тепло; это означает потери полезной энергии (требуется больше потока/мощности для достижения задачи). Чем выше ${\dot{S}}_{gen}$, тем хуже возможность извлечь полезную работу.
- В теплообменниках и реакторах турбулентность повышает коэффициенты тепло/массообмена (плюс: уменьшение температурных/концентрационных градиентов может снизить тепловую необратимость), но одновременно повышает вязкие потери (измельчение потока, потери напора, больше насосной/мешальной мощности) — существует оптимум между ускорением обмена и ростом энтропии от вязкой диссипации.
- Для экономичности процессов нужно минимизировать ненужную турбулентную диссипацию при достижении требуемого уровня смешивания/теплообмена — это задача минимизации генерации энтропии.
5) Практические рекомендации
- Оценивать вклады: вычислить ${\dot{S}}_{visc}\approx \int \rho \epsilon /TdV$ и ${\dot{S}}_{th}\approx \int k_{\mathrm{eff}}|\nabla T{|}^2/T^{2}dV$ для разных режимов; использовать $\epsilon \sim U^3/L$ для масштабных оценок.
- Оптимизировать геометрию (избегать лишних острых сдвигов), выбирать режимы потока с минимальной диссипацией при достаточном тепло/массообмене.
- Применять управляемое смешивание (стадирование, направленные струи, компактные мешалки) вместо грубого интенсифицирования турбулентности.
- В энергетических расчётах учитывать, что подведённая механическая мощность неминуемо увеличит энтропию не менее чем $P/T$.
Короткое итоговое выражение для оценки масштаба необратимости от турбулентного перемешивания:
$${\dot{S}}_{gen}\approx {\int }_V\frac{\rho \epsilon }{T}dV+{\int }_V\frac{k_{\mathrm{eff}}|\nabla T{|}^2}{T^2}dV\sim \frac{\rho V{U}^3}{LT}+\frac{k_{\mathrm{eff}}V(\Delta T/L{)}^2}{T^2},$$ что показывает сильную зависимость вязкой части от $U^3$ (жёсткая плата за интенсификацию потока).