Ключевые факторы, определяющие критичность, и как их количественно учитывать
1) Основные физические параметры и их влияние
- Эффективный множитель: критичность определяется $k_{eff}$. Реактивность задаётся как
$$\rho =\frac{k_{eff}-1}{k_{eff}}.$$ Для оценки в pcm используют $1\text{pcm}=10^{-5}$, т.е.
$$\rho (\text{pcm})=\frac{k_{eff}-1}{k_{eff}}\cdot 10^5.$$ - Спектр нейтронов: сечения захвата/деления очень зависят от энергии; изменение спектра (более «жёсткий» или «мягкий») меняет $k_{eff}$ через $\nu {\Sigma }_f(E)$, ${\Sigma }_a(E)$, сечение рассеяния.
- Сечение захвата (включая резонансное поглощение): резонансная неподобность топлива и эффект Доплера (покрытие резонансов при повышении температуры) влияют на вероятность сохранения нейтрона до замедления и деления.
- Замедлитель и его конструкция: макроскопические сечения рассеяния ${\Sigma }_s$, поглощения ${\Sigma }_a$, средний логарифмический спад энергии $\xi$ и соотношение модератор/топливо определяют вероятность замедления без захвата и резонансный коэффициент ухода $p$.
- Геометрия и утечка: конечный множитель учитывает утечку нейтронов — быстрые и тепловые вероятности не-утечки $P_f,P_t$.
- Температурные и плотностные коэффициенты (Doppler, модераторный): ${\alpha }_T=\partial \rho /\partial T$ — важны для устойчивости.
- Примеси и ксенон/йод: быстрые изменения концентраций поглотителей (ксенон) дают временные изменения $\rho$.
2) Факторные формулы (количественно)
- Шестифакторная формула (термический реактор):
$$k_{eff}=\eta fpϵP_f{P}_t,$$ где $\eta$ — число нейтронов на поглощённый тепловой нейтрон, $f$ — тепловая фракция, $p$ — вероятность выхода из резонансов, $ϵ$ — фактор быстрых нейтронов, $P_f,P_t$ — вероятности не-утечки. Оценку каждого фактора получают численно (см. далее).
- Малые изменения (теория возмущений, адъюнтная формула). Для малых изменений макроскопических сечений можно оценить относительное изменение $k$ как
$$\frac{\Delta k}{k}\approx \frac{\int {\varphi }^{†}(\Delta (\nu {\Sigma }_f)-k\Delta {\Sigma }_a)\varphi dV}{\int {\varphi }^{†}\nu {\Sigma }_f\varphi dV},$$ где $\varphi$ — нейтронный поток, ${\varphi }^{†}$ — адъюнтная функция. Это даёт количественную оценку вклада конкретной материалной/геометрической модификации.
3) Как количественно оценить запас реактивности при проектировании (порядок действий)
- Определить требования к запасу: запас должен покрывать суммарные ожидаемые потери реактивности и обеспечить запас на безопасное отключение (shutdown margin). Формула суммарного требуемого запаса:
$${\rho }_{ex}\ge {\rho }_{burnup}+|{\rho }_{Xe,max}|+{\rho }_{temp}+{\rho }_{leakage\_change}+{\rho }_{tol}+{\rho }_{ops},$$ где перечисленные члены — потери из-за выгорания, максимальный эффект ксенона, тепловые/плотностные изменения, изменения утечки за цикл, допуски изготовления/неопределённости и оперативные резервы.
- Вычисление членов:
- ${\rho }_{burnup}$: выполняют расчёт выгорания (depletion) с реакторным кодом (Serpent, MCNP+ORIGEN, SCALE, CASMO), получают $\rho (t)$ и суммарную потерю за заданный цикл.
- $|{\rho }_{Xe,max}|$: решают кинетику йода/ксенона при переходах мощности — численно моделируют уравнения кинетики или берут максимум из расчёта транзиента.
- ${\rho }_{temp}$ и другие коэффициенты: вычисляют как численные производные
$${\alpha }_T=\frac{\rho (T+\Delta T)-\rho (T)}{\Delta T},$$ затем умножают на ожидаемую амплитуду изменения температуры/плотности.
- ${\rho }_{leakage\_change}$: анализируют изменение вероятностей утечки при выгорании или изменении плотности; получают через независимые расчёты многозонной геометрии.
- ${\rho }_{tol}$: включают погрешности по сечениям, граничным условиям, допустимые погрешности расчётов — формально можно взять несколько сотен pcm в зависимости от достоверности кода/баз данных.
- Практический рабочий процесс:
1. Подготовить библиотеку сечений (NJOY/NDS), многогрупповые константы.
2. Моделировать начальную конфигурацию и получить $k_{eff,0}$ и ${\rho }_0$.
3. Провести расчёт выгорания и транзиентов (Xenon, изменение температуры) — получить профили $\rho (t)$.
4. Оценить контрольный запас: определить суммарную потерю и добавить требуемый shutdown margin (проектная политика).
5. Проверить с помощью адъюнтных расчётов чувствительности вкладов (показывает, какие параметры дают наибольший вклад в $\Delta \rho$).
- Преобразование в практичные единицы: для отчётов часто используют pcm; перевести легко:
$$\rho (\text{pcm})=\rho \cdot 10^5=\frac{k_{eff}-1}{k_{eff}}\cdot 10^5.$$
4) Рекомендации по числовым запасам (порядковые величины)
- Конкретные числа зависят от типа реактора и практик лицензирования. Типично запас на протяжении топливного цикла — несколько тысяч pcm; обязательный shutdown margin обычно составляет несколько сотен–тысяч pcm в зависимости от конфигурации и регуляторных требований. (Точные значения определяют проектировщики и регуляторы для конкретного типа реактора.)
Краткое резюме
- Критичность контролируется спектром, сечениями (включая резонансы и эффект Доплера), свойствами замедлителя, геометрией и утечкой, температурными коэффициентами и поглотителями (ксенон).
- Количественно: используйте шестифакторную формулу для физического понимания, адъюнтную/пертурбационную теорию для чувствительностей и полную численную модель (Monte Carlo / детерминированные коды + выгорание) для расчёта $k_{eff}(t)$ и суммарного требуемого запаса ${\rho }_{ex}$ по формуле суммирования потерь.