Кратко — как предсказать распределение наведённых токов и поля и какие эффекты при высоких частотах.
1) Базовые уравнения (в дифференциальной форме) и закон Фарадея:
$$\nabla \times \mathbf{E}=-{\partial }_t\mathbf{B}(\text{Фарадей}),$$ $$\nabla \times \mathbf{H}=\mathbf{J}+{\partial }_t\mathbf{D}(\text{Ампер–Максвелл}),$$ в проводнике используем закон Ома в местной форме
$$\mathbf{J}=\sigma \mathbf{E}.$$ Для замкнутой тонкой проволочной петли индуцированная ЭДС равна
$$\mathcal{E}=-\frac{d\Phi }{dt},\Phi ={\int }_S\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S},$$ а в простом электрическом описании цепи
$$L\frac{dI}{dt}+RI=\mathcal{E},$$ (при учёте вынужденного излучения добавляется радиационное сопротивление $R_{rad}$: $L\dot{I}+(R+R_{rad})I=\mathcal{E}$).
2) Поле и распределение наведённых токов в проводнике:
- Если можно пренебречь перемещением зарядов (${\partial }_t\mathbf{D}$ мал) и волновыми эффектами (габариты << длины волн), то комбинируя $\nabla \times \mathbf{E}=-{\partial }_t\mathbf{B}$, $\mathbf{J}=\sigma \mathbf{E}$ и $\mathbf{B}=\mu \mathbf{H}$ получаем диффузионное уравнение для поля внутри проводника:
$${\nabla }^2\mathbf{H}=\mu \sigma {\partial }_t\mathbf{H}.$$ При гармоническом возбуждении $\sim e^{-i\omega t}$ это даёт уравнение Гельмгольца с комплексным параметром:
$${\nabla }^2\mathbf{H}+i\omega \mu \sigma \mathbf{H}=0.$$
- Для плоской границы (полупространство проводника) решение даёт экспоненциальное затухание и фазовый сдвиг. Вводят глубину проникновения (skin depth)
$$\delta =\sqrt{\frac{2}{\omega \mu \sigma }}.$$ Поле и плотность тока при гармонике распределяются по нормали как
$$\mathbf{J}(x)={\mathbf{J}}_0{e}^{-(1+i)x/\delta }(x\ge 0),$$ т.е. амплитуда убывает как $e^{-x/\delta }$ и имеет фазовый сдвиг $-x/\delta$.
- Для тонкого проводника: если радиус $a\ll \delta$ ток по сечению почти равномерный; если $a\gtrsim \delta$ — ток концентрируется у поверхности (скин-эффект). В многопроводных системах добавляется эффект близости (proximity effect) — перераспределение тока под воздействием полей соседних проводников.
3) Влияние на сопротивление и импеданс:
- Поверхностный импеданс проводника
$$Z_s=\frac{1+i}{\sigma \delta }=(1+i)\sqrt{\frac{\omega \mu }{2\sigma }}.$$ - Для тонкого цилиндрического провода при $a\gg \delta$ эффективное сопротивление на единицу длины примерно пропорционально $Z_s/(2\pi a)$, т. е. сопротивление растёт с частотой пропорционально $\sqrt{\omega }$.
4) Переход к излучению (когда важны волновые эффекты):
- Критерий: если габариты проводника (длина петли, отрезок) сравнимы с длиной волны $\lambda =2\pi c/\omega$ — необходимо решать полные уравнения Максвелла с учётом ретардации. Наведённые токи становятся распределёнными вдоль провода с учётом запаздывания и формируют излучающее поле — антенная теория (решают интегральные уравнения типа уравнения Галёркина / Hallén для тонкого провода).
- Последствия: возникает радиационное сопротивление $R_{rad}$ и излучаемая мощность; для короткого диполя ($l\ll \lambda$) радиационное сопротивление малое и порядка $\sim (kl{)}^2$ (где $k=2\pi /\lambda$), для резонансных размеров излучение доминирует.
- Общая балансная цепочка: наведённая ЭДС питает ток, который теряет энергию на омическую рассеивающую (повышенное из-за скин- и proximity-эффектов) и на излучение:
$$\mathcal{E}=L\frac{dI}{dt}+(R_{ohm}+R_{rad})I.$$
5) Практическое предсказание и методы расчёта:
- Для низких частот и тонких проводов (габариты << $\lambda$) — квазистатический подход: решить уравнение диффузии (аналитически или численно) для распределения тока; можно использовать эквивалентную цепь с частотно-зависимым $R(\omega )$ и $L(\omega )$.
- Для высоких частот/резонансных размеров — полный волновой расчёт: метод моментов (MoM) для тонких проводов, численные методы (FDTD, FEM) для сложной геометрии; получают распределение тока, поля и поток рассеиваемой/излучаемой энергии.
- Учитывать граничные условия на поверхности проводника:
$$\hat{n}\times ({\mathbf{E}}_2-{\mathbf{E}}_1)=0,\hat{n}\times ({\mathbf{H}}_2-{\mathbf{H}}_1)={\mathbf{K}}_s,$$ где ${\mathbf{K}}_s$ — поверхностная плотность тока (при сильном скин-эффекте ток удобно моделировать как поверхностный).
Итого: предсказание начинается с Фарадея и уравнений Максвелла + $\mathbf{J}=\sigma \mathbf{E}$. В квази-статике получаем диффузионное уравнение и скин-эффект с глубиной $\delta =\sqrt{2/(\omega \mu \sigma )}$. При росте частоты сопротивление растёт (поверхностный импеданс $Z_s=(1+i)/(\sigma \delta )$), а при размерах, сравнимых с $\lambda$, на первый план выходит излучение — требуется полный волновой расчёт и ввод радиационного сопротивления.